Si $r_1$, $r_2$, ... $r_n$ son números reales

Question

Si $r_1$, $r_2$,... $r_n$ son números reales, prueba que existen números primos $p_1 tales que cada una de las secuencias $\{\sin r_1p_i\}$, $\{\sin r_2p_i\}$, ..., $\{\sin r_np_i\}$ es convergente.

Estuve tratando de resolver esto durante días y no sé cómo empezar.

Answer 1

Sean $a,b$ dos números reales y sea $p_1 la secuencia de números primos. Dado que hay infinitos números primos, la secuencia acotada $\{\sin(ap_n)\}_n$ tiene una subsecuencia convergente, digamos $\{\sin(aq_n)\}_n$. Ahora repita el procedimiento anterior con $b$ y $q_1.

Answer 2

Dudoso: Secuencia $r_n=\frac{n\pi}{2}$. Los términos de la secuencia sin $=0$ para $n$ pares y $\pm 1$ para $n$ impares, para todos los números primos impares.