Seamos un poco sistemáticos al dibujar estos.
Para $n=4$, hay 9 jerarquías de círculos (creo que esto es de OEIS A000081).
(((()))) los círculos están todos anidados uno dentro del otro.
Hay cuatro de estos: las diferencias vienen de si los puntos de tangencia coinciden o no. Los tienes etiquetados como #26, #28, #29 y #30 en el diagrama cuando empecé a escribir esto.
((()())) dos círculos más internos rodeados por una pareja anidada.
Hay seis de estos: los dos círculos más internos pueden 1. tocar solo a su padre, 2. tocarse entre sí pero solo uno toca al padre, o 3. tocarse entre sí y ambos tocar al padre, y luego el punto de tangencia con el bisabuelo puede estar involucrado o no. De estos, solo uno está incluido en tu diagrama, como #34.
((())()) dos hijos, un nieto.
Voy a llamar A al niño con su propio hijo, y B al niño sin su propio hijo. Los niños pueden tocar solo al padre (y el nieto puede tocar o no al círculo exterior); A puede tocar solo a B y no al padre (y el nieto puede tocar o no a B); B puede tocar solo A y no al padre (y el nieto puede tocar a B, al círculo exterior o a ninguno); A y B pueden tocarse entre sí y al padre (y el nieto puede tocar a B, al círculo exterior o a ninguno), para un total de 10. De estos, tienes cinco: #22, #23, #31, #32 y #33.
((()))() uno con hijo y nieto, uno vacío.
Hay cuatro de estos: el nieto puede tocar o no al abuelo, y el niño puede tocar o no a su tío. De estos tienes dos, #27 y #45.
(()()()) un padre con tres hijos.
Los tres hijos pueden estar en cuatro disposiciones: no pueden tocarse en absoluto; puede haber una pareja y uno solitario; pueden estar los tres en línea; pueden estar los tres en un triángulo. Esto lleva a once en toda la clase: los tres hermanos independientes pueden tocar al padre #16, la pareja puede tocar ambos #13 o solo uno #35, la línea puede tocar una vez en el extremo o en el medio (tienes ninguno) o dos veces en ambos extremos #12 o en el extremo y en el medio #25 o tres veces #19, el triángulo puede tocar una vez (no presente) dos veces (doble contado #15 y #24) o tres veces (#11)
(()())() uno con dos hijos, uno vacío.
Esta disposición es básicamente la misma que el tipo 2; la única diferencia es que el "círculo más externo" en 2 se ha convertido en un tío en lugar de un abuelo. Tienes cinco de estos #14 #17 #18 #39 #43, y has contado dos doblemente como #20 y #21 - te falta el equivalente de tangente al tío de #14.
(())(()) dos con un hijo cada uno.
Solo hay tres de estos: la pregunta es cuántos hijos tocan a sus tíos. Podrían ser cero #38, uno #37, o dos #36.
(())()() uno con un hijo, dos vacíos.
¡Finalmente entra en juego la geometría! Los tres círculos exteriores pueden estar en línea o en un triángulo. Si están en línea, el niño puede estar en uno de los extremos, o en el medio, y puede tocar o no a un tío #6, #7, #8, #44; si están en un triángulo, el niño puede tocar a uno de los tíos #10, o fuera del triángulo formado por los tíos #9, o dentro de ese triángulo (no presente)
()()()() cuatro vacíos.
Creo que en realidad tienes todos estos: hay línea #5, triángulo más cola #1, rombo #2, cuadrado #3, estrella #40, y luego hay tres que son un triángulo con círculo en el medio que toca uno #42 dos #41 o tres #4 de los círculos exteriores.
Entonces en total pareces tener (en el diagrama cuando empecé a escribir esta respuesta contaste tres doble (#20 es lo mismo que #18, #21 es lo mismo que #17, y #24 es lo mismo que #15), y te faltaron dieciséis, para un total de 58 que yo puedo contar.
