ODE con sustitución

Question

"Resolver el problema de valor inicial de primer orden

$x^2\frac{dy}{dx}+24-10xy+x^2y^2=0$

$y(1)=1$

haciendo la sustitución $y=u^{-1}\frac{du}{dx}$"

Primero derivamos $y$ para obtener

$y'=-u^{-2}u'+u^{-1}u''$

Y luego reemplazamos en la ODE para llegar a:

$(x^2)u''+(\frac{x^2}{u}u'-\frac{x^2}{u}-10x)u'+24u=0$

Probablemente pueda resolver esto usando la ecuación de Cauchy-Euler, pero el término $\frac{x^2}{u}u'$ me está deteniendo para hacerlo. ¿Cómo puedo continuar?"

Answer 1

Pista

Teniendo en cuenta $$x^2y'+24-10xy+x^2y^2=0$$ empiece usando $x\,y=z$ para obtener $$x z'+(z-11) z+24=0$$ Trabaje con $x(z)$ para obtener $$\frac x {x'}+(z-11) z+24=0\implies \frac {x'}x=-\frac 1 {z^2-11z+24}=-\frac 1 {(z-3)(z-8)}$$ lo cual es separable. Ahora, descomposición en fracciones parciales del lado derecho y ... solo termine.