¿Demuestra ZF que una subteoría finita la axiomatiza sobre modelos de clases propias transitivas?

Question

Si $\text{ZF}$ es consistente, entonces no es finitamente axiomatizable. Porque si $\Gamma$ es una axiomatización finita, entonces $\text{ZF}$ prueba por reflexión que $\Gamma$ tiene un modelo de conjunto, y por lo tanto (ya que $\Gamma$ axiomatiza $\text{ZF}$) también lo hace $\Gamma$. Según el Segundo Teorema de Incompletitud, $\Gamma$ es inconsistente. Esto es absurdo, ya que axiomatiza $\text{ZF}$.

Lo siguiente resulta intrigante.

Teorema. Existe un $\Gamma$ finito tal que todo modelo de clase propia transitiva de $\Gamma$ verifica $\text{ZF}$.

Me gustaría saber si algún obstáculo impide formalizar esto en $\text{ZF}$. De ser así, ¿cómo afecta esto al teorema anterior sobre la axiomatización finita?

Por ejemplo, si la formalización es posible, parece deducirse que $\text{ZF}$ prueba que, si $\text{ZF}$ es consistente, entonces $\Gamma$ tiene un modelo que refuta $\text{ZF}$. De lo contrario, "cada modelo de $\Gamma$ verifica $\text{ZF}$" es consistente con $\text{ZF + Con(ZF)}$, lo cual es absurdo ya que la teoría conjunta demuestra que $\text{ZF}$ tanto es como no es finitamente axiomatizable. Pero eso no es muy interesante. ¿Quizás el teorema implica algo sobre la no-primerordenabilidad de la transitividad? ¡Cuéntame!

Aquí hay una prueba, cuya longitud merece disculpa. ¡Me parece formalizable!

Prueba. Especificamos $\Gamma$ en etapas. Primero, que contenga todos los axiomas de $\text{ZF}$ excepto Comprensión y Reemplazo. Luego, que $\Gamma$ contenga las pocas instancias de Comprensión y Reemplazo necesarias, además de lo anterior, para demostrar los hechos invocados a continuación sobre la absolutización y la jerarquía acumulativa. Siguiendo a Kunen, deja que $\text{En}(i,X,j)$ sea el conjunto de j-tuplas de $X$ que satisfacen la i-ésima fórmula en j variables, relativizada a X. Donde $\ast$ denote la concatenación, escribe $\eta(m,n,s,t,A,B)$ para

$m, n \in \omega \wedge t \in B \wedge A \in B \wedge s \in B^n \wedge s\ast\langle t, A \rangle \in \text{En}(m, B, n+2)$

y $\mu(m,n,s,t,A,B,y)$ para

$m, n \in \omega \wedge t \in B \wedge A \in B \wedge s \in B^n \wedge y \in B \wedge s\ast\langle t, y, A \rangle \in \text{En}(m, B, n+3).$

Finalmente, que $\Gamma$ contenga la instancia (+)

$\forall m,n,s,A,B\ \exists y\ \forall t\ [t \in y \leftrightarrow t \in A \wedge \eta(m,n,s,t,A,B)].

de Comprensión, y la instancia (++)

$\forall m,n,s,A,B[\forall t \in A\ \exists!y\ \mu(m,n,s,t,A,B,y) \rightarrow \exists Y\ \forall t \in A\ \exists y \in Y\ \mu(m,n,s,t,A,B,y)]

de Reemplazo. Que no haya nada más en $\Gamma$.

Ahora supongamos que $M$ es un modelo de clase propia transitiva de $\Gamma$. Para probar que $M$ verifica $\text{ZF}$, basta verificar que verifica las instancias arbitrarias de Comprensión y Reemplazo. Hacemos lo primero; lo segundo es similar, utilizando (++) en lugar de (+). Deja que $\theta(w_1, \dots, w_n, t, A)$ sea una fórmula, y toma conjuntos $w_1, \dots, w_n, A$ en $M$. Por Comprensión en $V$, deja que $a$ sea el conjunto de todos los $t \in A$ tales que $\theta^M(w_1, \dots, w_n, t, A)$. Se busca mostrar que $a$ es un elemento de $M$.

Dado que $M$ es transitivo y contiene a $A$, $a$ es un subconjunto de $M$. Y dado que $M$ verifica $\Gamma$, la tupla $s = \langle w_1, \dots, w_n \rangle$ está en $M$. Se define una jerarquía acumulativa en $M$ estableciendo $M_\alpha = M \cap V_\alpha$. Según el teorema de reflexión, se toma $\beta > \text{max.rank}(a, A, s, \omega)$ tal que $\theta$ y $\Gamma$ son absolutos para $M_\beta$, $M$. Ahora $M_\beta$ es un modelo transitivo de $\Gamma$ que contiene $w_1, \dots, w_n, A, s, \omega$, y cada elemento de $a$. Además, $M_\beta \in M$, ya que $M$ piensa que $V_\beta$ existe.

Por definición de $\text{En}$, hay un entero $q$, el número de Gödel de $\theta$, tal que $\text{En}(q, M_\beta, n+2)$ es el conjunto de (n+2)-tuplas de $M_\beta$ que satisfacen $\theta^{M_\beta}$. Utilizando (+) en $M$ con $m = q$ y $B = M_\beta$, y computando relativizaciones y absolutidades con la ayuda de $\Gamma$, existe $y \in M$ que contiene precisamente los $t \in M$ tales que $t \in A \wedge \theta^{M_\beta}(w_1, \dots, w_n, t, A)$. Dado que $a$ es un subconjunto de $M_\beta$ y $\theta$ es absoluto para $M_\beta$, $M$, este $y$ es simplemente $a$. Así que $a$ está en $M$, como se deseaba.

QED

Por cierto, el teorema es el Ejercicio 7 en el Capítulo V de Kunen.

Answer 1

Esta es una pregunta muy interesante, cuya respuesta encuentro que es un punto bastante sutil pero importante. La respuesta es que no es posible formalizar la declaración en tu pregunta en la teoría de conjuntos de primer orden.

Para ver esto, primero observa que el teorema que mencionas es en realidad solo un esquema de teorema, que afirma de cualquier axioma $\varphi$ de ZFC que cualquier modelo de clase propia de $\Gamma$ también es un modelo de $\varphi$. Es decir, el teorema demuestra que cada instancia de ZFC se cumple por separado en la clase dada $M$, si satisface $\Gamma$. La prueba que proporcionas apela en una etapa crítica al teorema de Reflexión, que también es solo un esquema de teorema, y por eso no podemos amalgamar todo el argumento como una única inducción interna. Más bien, la forma de pensar en esto es que el teorema se demuestra mediante una inducción que tiene lugar en la meta-teoría, estableciendo que cada axioma meta-teórico de ZFC se cumple en $M$ como una afirmación separada. Por lo tanto, solo concluimos que los axiomas estándar (meta-teóricos) de ZFC se cumplen en $M$ y no podemos deducir que $V$ piensa que $M$ satisface la versión interna de ZFC usando las fórmulas con códigos de Gödel en $V$. De hecho, debido al teorema de Tarski sobre la indefinibilidad de la verdad, en general no tenemos forma de expresar que una fórmula dada codificada por un código de Gödel es verdadera en una clase dada, y por lo tanto no tenemos forma de expresar siquiera que una clase $M$ satisface todo (el interno) de ZFC, en lugar de expresarlo como un esquema.