¿Son precisas las leyes de Maxwell matemáticamente?

Question

La electrodinámica hace un amplio uso del cálculo vectorial, el cual a su vez trata sobre la diferenciación e integración de campos escalares y vectoriales en $\mathbb{R}^3$. En este punto todo parece estar bien para mí, ya que el espacio físico es isomorfo a $\mathbb{R}^3$. Sin embargo, las leyes de Maxwell se basan en abstracciones matemáticas como suponer que la carga eléctrica es una variable continua.

Por ejemplo: $$\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho$$ En el LHS, hay una cantidad local, ya que la divergencia de un campo vectorial está definida en cada punto del espacio. Por otro lado, en el RHS hay una cantidad global, es decir, solo se puede definir como una densidad de carga promedio en volúmenes mucho mayores que las dimensiones de los portadores de carga involucrados. Esto se debe a que la carga eléctrica es cuantizada. Todas las partículas cargadas tienen cargas que son múltiplos enteros de $\frac{1}{3}e$. Dado que los portadores de carga son generalmente muy pequeños, macroscópicamente parece que de hecho podemos definir $\rho$ en cada punto del espacio, aunque esta afirmación no tenga mucho sentido matemático. Por ejemplo, en un punto de "espacio" vacío (un punto que no pertenece a los portadores de carga), $\rho=0$.

Aunque soy consciente del extraordinario poder predictivo de la electrodinámica clásica, la suposición de considerar las cargas como continuas en lugar de discretas parece bastante inverosímil. Me gustaría saber si, además de las aplicaciones cuánticas, las leyes de Maxwell muestran algún tipo de error debido a esta suposición.

Answer 1

El título de la pregunta pregunta si las ecuaciones de Maxwell son matemáticamente precisas. La respuesta es definitivamente sí. Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales bien planteadas. No hay ambigüedad sobre los símbolos, y se puede verificar de manera inequívoca si un conjunto dado de campos y distribuciones de carga/corriente satisfacen las ecuaciones. De hecho, las ecuaciones de Maxwell disfrutan de muchas características matemáticas adicionales agradables, como teoremas de existencia y unicidad, así como propiedades de simetría hermosas y no obvias como la invarianza de Lorentz y la dualidad electromagnética.

Sin embargo, el texto plantea una pregunta fundamentalmente diferente: si las ecuaciones de Maxwell son un modelo perfecto del mundo real. La respuesta es definitivamente no. Las ecuaciones de Maxwell no describen muchos fenómenos importantes, como la gravedad. Aún más al punto, las ecuaciones de Maxwell describen una teoría de campo clásica, mientras que el mundo que vemos a nuestro alrededor es cuántico.

Dicho esto, es esencialmente una trivialidad en física decir que cualquier modelo dado no describe perfectamente la realidad. Incluso el Modelo Estándar y la Relatividad General no son teorías completas de la realidad. La pregunta interesante no es una pregunta binaria de "sí o no" sobre si una teoría dada es "correcta o incorrecta", sino más bien entender dónde una teoría dada falla (ver el brillante ensayo de Asimov La Relatividad de Equivocado). En el caso del electromagnetismo clásico, es precisamente cuando se trata de pequeños números de partículas fundamentales (unos pocos fotones, o unos pocos electrones, por ejemplo) que se necesita preocuparse por la mecánica cuántica, y las ecuaciones de Maxwell fallan.

Aunque las ecuaciones de Maxwell no son una representación perfecta de la realidad, no acepto la explicación del OP de por qué son imperfectas. Las ecuaciones de Maxwell pueden acomodar distribuciones de carga discretas -- simplemente inserta una suma de funciones delta tridimensionales para $\rho$. Ahora, es verdad que no hay nada en las ecuaciones de Maxwell que diga que la cuantización de la carga es lógicamente obligatoria, lo cual puede sentirse como un déficit en la teoría. Sin embargo, no hay nada en el Modelo Estándar entero que requiera la cuantización de la carga. Entonces, incluso en nuestro mejor entendimiento actual de la física de partículas, la cuantización de la carga es un hecho empírico, y no una consecuencia de otros principios teóricos.

Además, matemáticamente es una aproximación válida reemplazar una suma densa de cargas puntuales discretas por una distribución de carga suave. Esta no es una observación particularmente profunda. Es bastante común aproximar una suma que contiene un gran número de términos con una integral.

Answer 2

Las ecuaciones de Maxwell a veces se denominan ecuaciones de puntos, lo que significa que se aplican en cada punto del espacio. Eso es cierto para $$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho ,$$ porque la divergencia es diferente de cero solo en un punto en el espacio si hay una densidad de carga distinta de cero en ese punto en el espacio.

El hecho de que las cargas sean físicamente cargas puntuales significa que la divergencia se convierte en funciones delta de Dirac en las ubicaciones de las cargas y cero en todas partes.

A menudo, la distribución de cargas puntuales se modela con una densidad de carga suave. En tales casos, la divergencia también dará una función diferente de cero en esa región.

Por lo tanto, en todos los casos (ya sea que consideres la naturaleza física exacta de las cargas o un modelo más manejable de la distribución de la carga), las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento correctamente.

Answer 3

Si quieres objetar a las ecuaciones de Maxwell desde un punto de vista cuántico, no puedes seleccionar solo la cuantización de la carga. También debes respetar el principio de Heisenberg: una función de onda del electrón no puede tener una extensión cero. Si calculas las funciones de onda del electrón para átomos, moléculas, metales, semiconductores, superconductores, etc., éstas no son en absoluto deltas de Dirac.

Tú dices: si miramos de cerca hay partículas discretas, y la distribución de la carga no es una función suave sino un Dirac $\delta(x-x_0)$. Yo digo: si miramos aún más de cerca, vemos que esas partículas son cuánticas y la densidad de carga de, digamos, un átomo de hidrógeno es en realidad $\sim e^{-|x-x_0|/a}$ fuera del núcleo, donde $a$ es alguna constante del orden del radio de Bohr. Dentro del núcleo, es más complicado, pero el protón es genuinamente un objeto de tamaño finito, así que...

¿Cuál es la densidad de carga de un electrón libre? No es en absoluto $~\delta(x-x_0)$ porque eso no está permitido por Heisenberg. Los estados propios de posición y momento no son físicos. Los estados de electrón libre más clásicos son los estados coherentes y entonces esperamos que la densidad de carga sea una Gaussiana con una anchura del orden de la longitud de de Broglie, y no menor que la longitud de Compton. Newton y Wigner, Rev. Mod. Phys. 21, 400 (1949).

Si realmente quieres ser inatacable desde el punto de vista de las objeciones cuánticas, también debes tratar el campo electromagnético como un campo cuántico. Por el teorema de Ehrenfest, las ecuaciones de Maxwell se cumplen para los valores esperados de los campos cuantizados.

Answer 4

Creo que estás confundido, las ecuaciones son simplemente restricciones matemáticas que tenemos la suerte de poder aplicar. Esa es simplemente la naturaleza de las ecuaciones diferenciales.

Answer 5

No, la ecuación de Maxwell describe correctamente el comportamiento "clásico". porque además de las aplicaciones cuánticas, las reglas de la física clásica con su "simplicidad" y "flexibilidad", ... se necesitan muchas más ecuaciones de Maxwell para ser precisas, cuando comienzas a pensar en aplicaciones cuánticas pierdes inmediatamente esta flexibilidad,