La electrodinámica hace un amplio uso del cálculo vectorial, el cual a su vez trata sobre la diferenciación e integración de campos escalares y vectoriales en R3. En este punto todo parece estar bien para mí, ya que el espacio físico es isomorfo a R3. Sin embargo, las leyes de Maxwell se basan en abstracciones matemáticas como suponer que la carga eléctrica es una variable continua.
Por ejemplo: ∇⋅D=ρ En el LHS, hay una cantidad local, ya que la divergencia de un campo vectorial está definida en cada punto del espacio. Por otro lado, en el RHS hay una cantidad global, es decir, solo se puede definir como una densidad de carga promedio en volúmenes mucho mayores que las dimensiones de los portadores de carga involucrados. Esto se debe a que la carga eléctrica es cuantizada. Todas las partículas cargadas tienen cargas que son múltiplos enteros de 13e. Dado que los portadores de carga son generalmente muy pequeños, macroscópicamente parece que de hecho podemos definir ρ en cada punto del espacio, aunque esta afirmación no tenga mucho sentido matemático. Por ejemplo, en un punto de "espacio" vacío (un punto que no pertenece a los portadores de carga), ρ=0.
Aunque soy consciente del extraordinario poder predictivo de la electrodinámica clásica, la suposición de considerar las cargas como continuas en lugar de discretas parece bastante inverosímil. Me gustaría saber si, además de las aplicaciones cuánticas, las leyes de Maxwell muestran algún tipo de error debido a esta suposición.