Campos de matanza en espacios euclídeos

Question

Sea $K$ el conjunto de todos los campos vectoriales de Killing en $\mathbf R^n$ (con la métrica euclidiana $\bar g$) que se anulan en el origen.

(Un campo vectorial $V$ en una variedad riemanniana $(M, g)$ se dice que es un campo vectorial de Killing si el flujo de $V$ actúa por isometrías de $M$. Esto es equivalente a decir que $\mathcal L_Vg=0$).

Si $V\in K$, entonces usando $\mathcal L_V\bar g=0$, obtenemos que la matriz $[\partial V^i/\partial x^j]$ es anti-simétrica, donde $V^i$ son las componentes de $V$ en las coordenadas estándar.

Definimos un mapa $T:K\to \mathfrak o(n)$ como

$$T(V)= \left[\frac{\partial V^i}{\partial x^j}(0)\right]$$ donde $\mathfrak o(n)$ es el álgebra de Lie de $O(n)$, que es "igual" al espacio de matrices anti-simétricas reales de $n\times n$.

Problema. Demostrar que $T$ es inyectiva.

Estoy bastante perdido/a aquí.

Answer 1

Necesitamos el siguiente lema, cuya prueba estará al final de esta respuesta.

Lema: Si $\phi, \psi$ son isometrías riemaniannas en subconjuntos abiertos $U \to V$ de $\mathbb R^n$, con $\phi(p) = \psi(p)$ y $d\phi_p = d\psi_p$ para algún $p \in U$, entonces $\phi = \psi.

Ahora, supongamos que $V$ es un campo vectorial de Killing que se anula en $0$ en el núcleo del mapa $T : K \to \mathfrak o(n)$. Dado que $V$ se anula en $0$, si $\theta$ es el flujo de $V$, $\theta_t(0) = 0$ para cada $t$ en el dominio del flujo. Afirmamos que $d(\theta_t)_0$ es independiente de $t.$ Entonces, por el lema, $\theta_t = \mathrm{Id}$ en todo $\mathbb R^n$, y así $V = 0.

Sea $\theta_t^i$ el $i^\textrm{th}$ componente del flujo $\theta_t$. Entonces $\dfrac{d}{dt}\bigg|_{t=0} \theta^i_t(x) = V^i(x)$ para $x \in \mathbb R^n$, donde $V^i$ son las funciones de los componentes de $V$. Para probar la afirmación, es suficiente demostrar que $\dfrac{\partial \theta_t^i}{\partial x^j}(0)$ es independiente de $t$ para cada $i,j. Esto se sigue del teorema de Clairaut: para cada $t_0$ en el dominio del flujo, tenemos $$ \frac{d}{dt}\bigg|_{t=t_0} \frac{\partial}{\partial x^j} \theta_t^i(0) = \frac{\partial}{\partial x^j} \frac{d}{dt}\bigg|_{t=t_0} \theta_t^i(0) = \frac{\partial}{\partial x^j} \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} \theta^i_t(\theta_{t_0}(0)) = \frac{\partial}{\partial x^j} V^i(\theta_{t_0}(0)) = \frac{\partial V^i}{\partial x^j}(0) = 0 $$ ya que $V \in \ker(T)$. Por lo tanto, $\dfrac{\partial \theta_t^i}{\partial x^j}(0)$ es independiente de $t$ para cada $i,j, por lo tanto, también lo es $d(\theta_t)_0$, así que $V=0$ por el lema, entonces $T$ es inyectiva. QED.

Prueba del lema: Supongamos que $U$ es convexo. Las isometrías llevan segmentos de recta a segmentos de recta, por lo que $V$ también es convexo. Para $q \in U$, sea $\gamma(t) = p + t(q-p)$. Luego, $\phi \circ \gamma$ y $\psi \circ \gamma$ son ambos segmentos de recta desde $r := \phi(p) = \psi(p)$ hasta $\phi(q)$ y $\psi(q)$ respectivamente; es decir, $\phi \circ \gamma(t) = r + t(\phi(q)-r)$ y $\psi \circ \gamma(t) = r + t(\psi(q) - r)$. Dado que $d\phi_p = d\psi_p$, obtenemos $$\phi(q) - r = \frac d{dt}\bigg|_{t=0} (\phi \circ \gamma)(t) = d\phi_p(\dot\gamma(0)) = d\psi_p(\dot\gamma(0)) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} (\psi \circ \gamma)(t) = \psi(q)-r $$ así que $\phi(q) = \psi(q)$. Si $U$ no es convexo, $U$ es abierto, por lo tanto, una unión de conjuntos abiertos convexos, en cada uno de los cuales $\phi = \psi. QED.

Answer 2

Aquí hay una demostración ligeramente más simple y no geométrica:

Consideremos las derivadas coordenadas $$ a_{ijk} = \frac{\partial}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial x^j} V^k $$ de cálculo sabemos que esta expresión es simétrica en $i$ y $j$. La ecuación de Killing implica que esta expresión es antisimétrica en $j$ y $k.

Entonces

$$ -a_{ikj} = a_{ijk} = a_{jik} = -a_{jki} = -a_{kji} = a_{kij} = a_{ikj} $$

donde cada uno de los signos de igualdad proviene de intercambiar los primeros dos índices (que es simétrico) o los últimos dos índices (que es antisimétrico). Nota que esto significa que $-a_{ikj} = a_{ikj} \implies a_{ikj} = 0.

Esto muestra que $V$ es necesariamente lineal en $\vec{x}$. Dado que $V(0) = 0$ está determinado de forma única por su derivada $\partial_j V^k$ en un punto.