Definir adecuadamente un subconjunto de $\mathbb{Z}^k$

Question

Necesito proporcionar una buena definición del subconjunto de $\{\{0,1,\ldots,n-1\} \times \{0,1,\ldots,n-1\} \times \cdots \times \{0,1,\ldots,n-1\}\} \subset \mathbb{Z}^k$ dado por todos los vértices del conjunto mencionado que pueden ser alcanzados en un solo movimiento (o menos) por una torre de ajedrez $k$-dimensional, $R$, que comienza desde el vértice $\{(x_1,x_2,\ldots,x_k)\}$ (es decir, $x_1,x_2,\ldots,x_k \in \{0,1,\ldots,n-1\}$), donde se muestra la regla de movimiento de la torre generalizada a continuación. $n=4, k=3, x_1=1, x_2=0, x_3=0$" />

Ahora, creo que mi definición $$\{x_1,x_2,\ldots,x_k\} \cup \{(x_1+c_1,x_2+c_2,\dots,x_k+c_k) : \exists \tilde{j} \in \{1,2,\dots,k\} : \\ ((c_{j \neq \tilde{j}}=0 \wedge |c_{j=\tilde{j}}|=c \wedge (|\{\tilde{j}\}|<|\{j\}|) \wedge (x_j+c_j) \in \{0,1,\dots,n-1\}) \quad \forall c \in \{1,2,\ldots,n-1\}), j=1,2,\ldots,k \}$$ es bastante fea... ¿hay una mejor manera de indicar el subconjunto descrito, que funcione para cualquier $n \in \mathbb{N}-\{0\}$ y $k \in \mathbb{N}-\{0,1\}$?

Gracias de antemano por tu ayuda.

Answer 1

Si entiendo correctamente, tu conjunto puede ser descrito como $$ \bigcup_{1 \leqslant j \leqslant k} \bigl\{ (x_1, \ldots, x_{j-1}, c, x_{j+1}, \ldots, x_k) \mid c \in \{0, \ldots, n-1\} \bigr\} $$ EDITAR. Nuevo intento, siguiendo los comentarios del OP. $$ \bigcup_{I \subsetneq \{1, \ldots, k\}} \bigcup_{c \in \{0, \ldots, n-1\}} \Biggl\{ (z_1, \ldots, z_k) \mid z_i = \begin{cases} c &\text{si $i \in I$}\\ x_i &\text{en otro caso} \end{cases} \Biggr\} $$

Answer 2

Nadie querrá leer un párrafo de notación de conjuntos. Las palabras pueden ser tan rigurosas como los símbolos, y escribir algo que sea fácil de entender hace más probable que no haya ningún error sutil oculto allí.

Yo escribiría, por ejemplo:

Un alfil $k$-dimensional puede moverse desde un cuadrado $(x_1, x_2, \dots, x_k)$ a un cuadrado $(y_1, y_2,\dots,y_k)$ en un solo movimiento si hay alguna constante $c \in \mathbb Z$ tal que $|x_i - y_i| \in \{0,c\}$ para cada $i=1, 2, \dots, k$; además, debe haber al menos una coordenada $i$ tal que $x_i = y_i$.

O tal vez quieras sentar las bases para otras definiciones similares al dar una definición más general como un paso preliminar.

Definimos un $d$-movimiento lineal de dimensión $c$ como un movimiento desde un cuadrado $(x_1, x_2, \dots, x_k)$ a otro cuadrado $(y_1, y_2, \dots, y_k)$ tal que:

• Para $d$ de los índices $i \in \{1,\dots,k\}$, tenemos $|x_i - y_i| = c$;
• Para todos los demás índices $i \in \{1,\dots,k\}$, tenemos $x_i = y_i$.

Un alfil $k$-dimensional puede realizar un movimiento lineal de $d$ dimensiones de cualquier longitud positiva, para todos los $d$ tales que $1 \le d \le k-1$. Una reina $k$-dimensional, por otro lado, puede...

(O tal vez, "hay un conjunto $I \subseteq \{1,\dots,k\}$ con $|I|=d$ tal que para todos los índices $i \in I$, tenemos $|x_i - y_i|=c$, y para $i \notin I$, tenemos $x_i = y_i$".)

Si quieres referirte al subconjunto de cuadrados a donde puede moverse un alfil, entonces puedes seguir presentando una notación para ese subconjunto, como:

Definimos $R(x_1, x_2, \dots, x_k) \subseteq \{0,1,\dots,n-1\}^k$ como el conjunto de todos los cuadrados a los que puede llegar un alfil $k$-dimensional en un movimiento desde el cuadrado $(x_1, x_2, \dots, x_k)$.