Prueba: Cualquier intervalo abierto tiene la misma cardinalidad que $\Bbb R$ (sin usar funciones trigonométricas)

Question

Quiero demostrar que todo intervalo abierto tiene la misma cardinalidad que $\Bbb R$.

La pregunta es:

¿Es suficiente probar que cualquier intervalo abierto es innumerable? Si lo pruebo, ¿puedo decir que este intervalo tiene la misma cardinalidad que los reales?

Sé que puedo obtener una biyección usando la función tangente, pero no se me permite usar funciones trigonométricas.

He demostrado que $|(a,b)|=|(0,1)|$ así que puedo probar que $|(0,1)|=|\Bbb R|$ pero no encontré la biyección sin usar funciones trigonométricas.

Answer 1

Publiqué la siguiente respuesta a tu publicación aquí, que luego se marcó como duplicada de esta pregunta. Dado que abordo un enfoque diferente (y quizás más elemental) que las respuestas anteriores, pensé que sería una buena idea volver a publicarla para futuras referencias:

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Ya sabes que hay una biyección $(c,d) \to (-1,1)$ y por tanto basta con encontrar una biyección $f \colon (-1,1) \to \mathbb R$. Lo siguiente funcionará:

Para todo $n \in \mathbb N_0$ dejamos que $f \restriction_{[1- 2^{-n},1-2^{-n-1}]}$ sea la función lineal desde $(1- 2^{-n} ; 2^n)$ hasta $(1-2^{-n-1} ; 2^{n+1})$ y de igual manera, $f \restriction_{[-1+ 2^{-n-1},-1+2^{-n}]}$ es la función lineal desde $(-1+ 2^{-n-1} ; -2^{n+1})$ hasta $(-1+ 2^{-n} ; -2^{n})$.

La imagen de abajo muestra lo que está sucediendo: