Prueba: Cualquier intervalo abierto tiene la misma cardinalidad que $\Bbb R$ (sin usar funciones trigonométricas)

Question

Quiero demostrar que todo intervalo abierto tiene la misma cardinalidad que $\Bbb R$.

La pregunta es:

¿Es suficiente probar que cualquier intervalo abierto es innumerable? Si lo pruebo, ¿puedo decir que este intervalo tiene la misma cardinalidad que los reales?

Sé que puedo obtener una biyección usando la función tangente, pero no se me permite usar funciones trigonométricas.

He demostrado que $|(a,b)|=|(0,1)|$ así que puedo probar que $|(0,1)|=|\Bbb R|$ pero no encontré la biyección sin usar funciones trigonométricas.

Answer 1

Considera la función

$$g(x)=\frac{x}{1+|x|}$$ Verifica que $g$ es una biyección de los números reales a $(-1,1)$.

Answer 2

"Incontable" simplemente significa "no contable", donde contable es la menor infinitud. Si muestras que $(a,b)$ es incontable, y que $\Bbb{R}$ es incontable, no has demostrado que tengan la misma cardinalidad.

Necesitas mostrar una biyección. Esa es la definición misma de "misma cardinalidad". De cualquier forma en que pruebes que ambos tienen la misma cardinalidad, al menos implícitamente, exhibirá una biyección.

"Misma cardinalidad" significa que hay una biyección. Por lo tanto, estás preguntando si puedes mostrar una biyección entre estos dos conjuntos, pero sin mostrar que hay una biyección entre estos dos conjuntos. Tienes que usar una biyección. Cualquier teorema, lema, etc. DEBE usar biyecciones, ya que esa es la misma definición. Lo que estás preguntando es como pedir "¿puedes demostrar que 2 es par, sin mostrar que 2 es par?".

Editar, para una biyección explícita dejo la construcción completa para ti (ya que es algo tedioso), pero podrías tener algo como:

$$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x-a} \text{ para } x\in (a,a+\mu/4)\\ \text{ término lineal conectando para } x\in [a+\mu/4,a+3\mu/4]\\ \frac{1}{x-b} \text{ para } x\in (a+3\mu/4,b) \end{cases}$$

donde $\mu$ es la longitud del intervalo.

Answer 3

Esta es una pregunta antigua, pero hay una biyección muy simple sin funciones trigonométricas. Considera $f:(0,1) \to \mathbb{R}$ dada por

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2x} & 0

Si quieres $(a,b)$, por supuesto, es simplemente una cuestión de escala/desplazamiento.

Answer 4

Daré otra biyección, para añadir a la lista (tiene una interpretación geométrica):

$ x \to \ln (\frac{1}{x-a} - \frac{1}{b-a}) $ para $ x \in ]a, b[$ se ve fácilmente que es una biyección $]a, b[ \to \Bbb{R} $

Answer 5

Supongamos que $m$ es impar y $n$ es par. Entonces $$ \frac{x^m}{1-x^n} $$ es una función biyectiva $(-1,1) \to \mathbb{R}$. (Basta con comprobar que es creciente y no acotada en ambas direcciones: lo primero implica inyectividad, lo segundo sobreyectividad). Lo mismo se aplica, por ejemplo, $$ \log{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)} = 2\arg\tanh{x} $$