En la paridad de $\left\lfloor{\frac{3^n}{2^n}}\right\rfloor$

Question

Sea $a_n=(-1)^{\left\lfloor{\frac{3^n}{2^n}}\right\rfloor}$ y $$s_n=\sum_{k=1}^na_k.$$

¿Es cierto que $s_n\le 0$ para todo $n\geq 1$? (Esto es cierto para $n\le 100000$.)

En otras palabras, los números impares siempre son más que los números pares en la secuencia $\left\lfloor{\frac{3^n}{2^n}}\right\rfloor$. Esto es inesperado, creo que deberían ser aproximadamente iguales, y a veces los números pares superarán a los impares.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero aquí hay algunos resultados de la simulación por computadora:

Aunque la secuencia $s_n$ comienza siendo negativa durante bastante tiempo (como se menciona en la pregunta, durante más de los primeros $100,000$ términos), eventualmente alcanza valores positivos. La primera vez que esto sucede es para $n=331,523$; allí tenemos $165,762$ números pares y $165,761$ números impares. Así que la respuesta a la pregunta sería no.

Después de eso, sigue alternando entre valores positivos y negativos.

Consulta este gráfico de $s_n$ para $n$ hasta $1,000,000$:

Así es cómo continúa hasta $5,000,000$:

Por supuesto, sería genial poder verificar esto sin ayuda de la computadora... o ver una descripción teórica del comportamiento asintótico de $s_n$...