Una pregunta sobre un espacio vectorial sobre un campo infinito

Question

¿Puede un espacio vectorial sobre un campo infinito ser una unión finita de subespacios propios?

Answer 1

Respuesta corta: No.

Respuesta larga: No. Supongamos que nuestro espacio vectorial $V$ es una unión finita de subespacios propios, es decir, $$V=\bigcup_{i=1}^n U_i.$$

Ahora, elijamos un vector no nulo $x\in U_1$ y elijamos otro vector $y\in V\,\backslash U_1$.

Hay infinitos vectores $x+ky$, donde $k\in K^*$ ($K$ es nuestro campo infinito). Nótese que $x+ky$ no está en $U_1$, por lo tanto debe estar contenido en algún $U_j$ donde $j\neq 1.

Luego, dado que $k\in K^*$, podemos tener $x+k_1y,x+k_2y\in U_j$, lo que implica que también contiene a $y$ y por ende también a $x$, por lo tanto $U_1\subset U_j$. Por lo tanto, $$V=\bigcup_{i=2}^n U_i.$$ Claramente, esto puede continuar, lo que da lugar a una contradicción.

Answer 2

Denotemos por $K$ al campo sobre el cual $V$ es un espacio vectorial. Supongamos que la respuesta es verdadera y consideremos $V = \bigcup\limits_{i=1}^{n} V_i$, donde $V_i$ son subespacios propios de $V$ y $n \in \mathbb{N}$ es mínimo.

Como $n$ es mínimo, existe un elemento $v_n \in V_n \setminus \bigcup\limits_{i=1}^{n-1}V_i$. También existe un elemento $v \in \bigcup\limits_{i=1}^{n-1}V_i \setminus V_n.

Ahora si observamos el conjunto infinito $M = \{ v_n + k \cdot v : k \in K \}$, utilizando el Principio de las Palomas podemos ver que existe $i \in \{ 1, \dots, n\}$ tal que $|M \cap V_i| \geq 2$ (en realidad podríamos decir que el cardinal es infinito, pero no necesitamos eso para el resto de la demostración).

Si $V_n \cap M$ contiene algún elemento que no sea $v_n$, entonces existe $k \in K \setminus \{ 0 \}$ tal que $k \cdot v \in V_n$, lo cual contradice la elección de $v$.

Si $V_i \cap M$ tiene más de dos elementos para algún $i \in \{1, \dots, n-1\}$ entonces, observando sus diferencias, obtenemos que $v_n \in V_i$, lo cual contradice la elección de $v_n.

Por lo tanto, $V$ nunca es una unión finita de subespacios propios.

Edit: La repetición no fue intencional, estaba publicando mientras BlackAdder publicaba.

Answer 3

La unión de dos espacios vectoriales es un espacio vectorial solo si uno está contenido en el otro, por lo que mi intuición diría que la respuesta es no. Aún estoy trabajando en una respuesta concreta sin embargo.