Calcular la función zeta de un esquema a partir de sus cubiertas étale?

Question

El título lo dice todo. Dado un esquema (liso adecuado) $X$ sobre Spec$\mathbb{F}_q$, ¿es posible calcular la función zeta de $X$ a partir de sus recubrimientos étale?

Como para $\mathbb{P}^n$ se puede cubrir con $(n+1)$ copias de $\mathbb{A}^n$ que tiene como intersección $k$-folds de la forma $\mathbb{G}_m^k \times \mathbb{A}^{n-k}$, y contar puntos es como hacer el principio de inclusión-exclusión. Ahora me pregunto si se puede hacer en la topología étale.

Más concretamente, dado un esquema y un recubrimiento finito étale del mismo, ¿cómo están relacionadas sus funciones zeta?

(Por cierto, sé que hay una manera más fácil de calcular la función zeta de $\mathbb{P}^n$ usando una estratificación afín, el ejemplo anterior es solo para ilustrar mi pregunta).

Answer 1

Si $Y \to X$ es una cubierta galois etalé con grupo $G$ (sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$) entonces, para cada $g \in G$ puedes considerar el twist $Y^{(g)} \to X$ que también es una cubierta etalé de $X$. (Los twists están parametrizados por elementos de $G$ en lugar de un $H^1$ porque los grupos de Galois de extensiones de campos finitos son cíclicos). Ahora $X(\mathbb{F}_q)$ es la unión disjunta de las imágenes de los $Y^{(g)}(\mathbb{F}_q)$, por lo que puedes obtener la función zeta de $X$ a partir de las de los $Y^{(g)}$. Con un poco más de cuidado sobre los puntos ramificados, lo mismo se puede hacer para cualquier cubierta galois (no necesariamente etalé).