Prueba de convergencia sin encontrar 'N'

Question

Intenté probar que $\sqrt{n^2 +n}-n$ converge a $\frac{1}{2}$ No estoy seguro de si lo que he demostrado es correcto.

$$\left|\frac{n}{\sqrt{n^2+n} +n} - \frac{1}{2} \right| = \left| \frac{2n - 2(\sqrt{n^2+n}+n)}{2(\sqrt{n^2+n}+n)} \right|< \left|\frac{2n - 2\cdot 2n}{2\cdot 2 n} \right|<\left|\frac{2n - 2n}{ 2 n} \right| =0<\epsilon\\\forall \epsilon>0$$

¿Puedo hacerlo de esta manera?

Answer 1

Sea $\epsilon>0$ dado. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \left|\frac{n}{\sqrt{n^2+n} +n} - \frac{1}{2} \right| &= \left| \frac{2n - \left(\sqrt{n^2+n}+n\right)}{2\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)} \right|\\\\ &= \left| \frac{n -\sqrt{n^2+n}}{2\left(n+\sqrt{n^2+n}\right)} \right|\\\\ &= \left| \frac{n -\sqrt{n^2+n}}{2\left(n+\sqrt{n^2+n}\right)}\frac{n +\sqrt{n^2+n}}{n+\sqrt{n^2+n}} \right|\\\\ &= \left| \frac{n^2 -(n^2+n)}{2\left(n+\sqrt{n^2+n}\right)^2} \right|\\\\ &=\left| \frac{-n }{2\left(n+\sqrt{n^2+n}\right)^2} \right|\\\\ &\le\frac{n}{8n^2}\\\\ &=\frac{1}{8n}\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $n>N=\lceil\frac{8}{\epsilon}\rceil$

Answer 2

Para responder a tu pregunta, tu prueba es incorrecta porque pierdes precisión al pasar a una desigualdad. Por lo tanto, no, no puedes hacerlo de esa manera.