Aquí un ejercicio de Albert Wilansky:
Un espacio es normal si es la unión de subconjuntos, cada uno de los cuales es abierto, cerrado y normal.
La dificultad con la que me encuentro es que la unión no es necesariamente disjunta.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Necesitamos una restricción de cardinalidad, o la restricción de que la unión sea disjunta:
Sea $X$ la topología de secuencias racionales en los números reales, ver Wikipedia.
Es bien sabido que $X$ es Tychonov, de dimensión cero pero no normal (por ejemplo, el lema de Jones mostrará la no normalidad).
Pero $X$ es la unión de todos los $U_n(x)$ (en la notación de Wikipedia) y todos los singletons $\{x\}, x \in \mathbb{Q}$. Todos estos son compactos de Hausdorff, entonces normales, y también son conjuntos abiertos básicos. Pero su unión $X$ no es normal.
Para uniones hasta numerables (incluyendo finitas), podemos reemplazar $C_n$ por $C_n \setminus \cup_{i=1}^{n-1} C_i$ para obtener conjuntos normales cerrados y abiertos disjuntos en la unión, y para este caso, en efecto no es muy difícil de demostrar, como tú mismo sugieres.
