"Dadas tres líneas rectas paralelas. Construye un cuadrado tres de cuyos vértices pertenezcan a estas líneas." ¿Se requieren las tres líneas?

Question

Dadas tres líneas rectas paralelas. Construir un cuadrado tres cuyos vértices pertenecen a estas líneas.

¿Qué significa "pertenece" en el contexto de esta pregunta? ¿Las tres líneas tienen que ser utilizadas para construir el cuadrado?

Answer 1

Vamos a mostrar dos soluciones, una geométrica y la otra algebraica :

Solución geométrica :

Sí, se requieren las 3 líneas. Considere la siguiente figura :

Fig. 1.

Tome un punto $O$ en la línea que está entre las otras dos, llamadas líneas extremas. Defina $A$ y $A'$ como las proyecciones perpendiculares de $O$ en estas líneas extremas. Sea $d'=OA$ y $d=OA'$. Deje que $B$ y $B'$ sean los puntos en las dos líneas extremas tal que $AB=d$, y $A'B'=d'$, tomados en la misma dirección (ver observaciones abajo). Establezcamos que :

$B,O,B'$ son puntos de solución para este problema.

Prueba : Los triángulos $OAB$ y $OA'B'$ son triángulos rectángulos isométricos ; así poseen ángulos agudos complementarios $\alpha$ y $\beta$ (ver observaciones abajo) con

$$\alpha+\beta=90° \tag{1}.$$

Considere el ángulo plano $A'OA$. Podemos escribir, con las notaciones dadas en la figura :

$$\text{ángulo} \ A'OA \ = \ \alpha+\beta+\gamma \ = \ 180°$$

Usando (1), deducimos que $\gamma=90°$. Dado que los hipotenusas son iguales, es decir, $OB=OB'$, el rectángulo que se puede construir en $OB$ y $OB'$ es un cuadrado.

Observaciones : 2 definiciones más rigurosas :

1) "tomados en la misma dirección" significa que $\vec{AB}=k \vec{A'B'}$ con $k>0$.

2) $\alpha$ podría definirse formalmente como el ángulo agudo tal que $\tan(\alpha)=d/d'$.

Otras observaciones :

1) La figura anterior recuerda la demostración (ahora clásica) del teorema de Pitágoras : ver por ejemplo http://qed.sbytes.com/pythagoras.

2) Hay otras dos soluciones (@greedoid ha encontrado una de ellas, y le agradezco que haya señalado en esta dirección). Recordemos que la figura 1 se basaba en un triángulo rectángulo con catetos $(d,d')$. Pero usando una línea auxiliar (punteada) cuya definición dejamos al lector, obtenemos triángulos con catetos $(d+d',d)$ (Fig. 2) y $(d+d',d')$ (Fig. 3).

Fig. 2.

Fig. 3.

Solución algebraica :

Considere que los ejes de coordenadas se han elegido de tal manera que los puntos actuales en las diferentes líneas son respectivamente

$$A_0(x_0,a), \ \ A_1(x_1,b), \ \ A_2(x_2,c).$$

con $a,b,c$ fijos. Dado que el problema es invariante ante traslaciones, se puede asumir sin pérdida de generalidad que $x_0:=0$.

Las restricciones del problema son dos :

$$\begin{cases}\|\vec{A_0A_1}\|^2=\|\vec{A_0A_2}\|^2\\ \vec{A_0A_1} \perp \vec{A_0A_2} \end{cases}\tag{*}$$

Dado que $\vec{A_0A_1}=\binom{x_1}{u}$ y $\vec{A_0A_2}=\binom{x_2}{v}$ con

$u=:b-a$ y $v:=c-a$, podemos transformar (*) en el siguiente sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas :

$$\begin{cases}x_1^2+u^2=x_2^2+v^2\\ x_1x_2+uv=0\end{cases}\tag{**}$$

Este sistema tiene claramente dos soluciones

$$\begin{cases}x_1=u\\ x_2=-v \end{cases} \ \ \text{y} \ \ \begin{cases}x_1=-u\\ x_2=v \end{cases} \tag{***}$$

y no hay otras soluciones porque el sistema (**) es equivalente a una ecuación cuadrática que tiene solo 2 soluciones.

El resultado (***) concuerda completamente con cualquiera de las 3 soluciones encontradas en la solución geométrica.

Lo que hemos hecho para una de las líneas rectas se puede hacer para cualquiera de las otras dos (no hemos hecho ninguna suposición sobre el orden de los números $a,b,c$) : esto explica por qué tenemos 3 soluciones esencialmente diferentes.

Answer 2

CONSEJO: vea el diagrama a continuación para encontrar que el lado $l$ del cuadrado es igual a $\sqrt{a^2+b^2}$.

EDITAR. Como señaló greedoid, hay dos soluciones más:

Answer 3

Primer caso, $A$ está en la línea interna (imagen de la izquierda). Dado que la rotación de $B$ por $90^{\circ}$ alrededor de $A$ lleva a $B$ a $D$, también lleva a la línea que tiene a $B$ a una nueva línea que corta la otra línea externa en $D$.

Segundo caso, $A'$ está en la línea externa (imagen de la derecha). Dado que la rotación de $A'$ por $90^{\circ}$ alrededor de $D'$ lleva a $A'$ a $C'$, también lleva a la línea que tiene a $A'$ a una nueva línea que corta la línea interna en $C'$.

Answer 4

Un vértice es un punto. Una línea es un conjunto de puntos. El problema te pide que construyas un cuadrado de manera que las líneas dadas "pasen por" tres vértices del cuadrado.

Answer 5

Sean dadas las líneas paralelas $l$, $k$ y $m$ de manera que $k$ esté colocada entre $l$ y $m$.

Por ejemplo, ve la imagen de Aretino.

Sea m la línea superior, k la línea del medio y l la línea inferior.

Sé $A\in k$ y $R^{90^{\circ}}_A$ una rotación alrededor de $A$ por $90^{\circ}.$

Ahora, sé $R^{90^{\circ}}_A(l)\cap m=\{B\}$ y $R^{-90^{\circ}}_A(m)\cap l=\{D\}$.

Entonces, $AB\perp AD$ y $AB=AD$.

¿Puedes terminarlo ahora?