Cómo demostrar que un espacio métrico no es completo

Question

Para demostrar que un espacio métrico $(X, d)$ no es completo, se puede aplicar la definición y buscar una sucesión de Cauchy $\{x_n\}\subset X$ que no converge con respecto a la métrica $d$. Ahora, a menudo he visto (en libros, por ejemplo) otro enfoque: se puede mostrar que una sucesión $\{x_n\}\subset X$ converge con respecto a la métrica $d$ a un límite $x$ que no está contenido en $X$.

Un ejemplo común puede ser el siguiente: dado que $x_n:= (1+1/n)^n\in \mathbb{Q}$ para cada $n \in \mathbb{N}$ y $x_n \to e$, pero $e \notin \mathbb{Q}$, se puede concluir que $\mathbb{Q}$ no es completo.

Siempre he considerado esto obvio, pero ahora me doy cuenta de que no puedo explicar por qué funciona. La cantidad $d(x_n, x)$ en sí misma no tiene por qué estar bien definida, en general, si $x \notin X$. Entonces mi pregunta es: ¿por qué (y bajo qué condiciones) se puede usar este criterio para demostrar que un espacio métrico no es completo ("el límite no está en el mismo espacio que la secuencia")?

Answer 1

Se puede utilizar cuando se es consciente de la existencia de un espacio métrico $(Y,d^\ast)$ tal que:

1. $X\subset Y$;
2. $(\forall x,x'\in X):d^\ast(x,x')=d(x,x')$.

En el ejemplo que has mencionado, ese espacio es $\mathbb R$, dotado con su métrica habitual.

De hecho, dicho espacio métrico siempre existe (toma la completación de $X$, por ejemplo), pero si no sabes cómo trabajar con él, es una información inútil.

Answer 2

El punto aquí es que hay dos espacios métricos involucrados.

Básicamente, sucede la siguiente situación. Sea $X$ un espacio métrico y $Y$ sea un subespacio métrico de $X$ (por lo tanto $Y \subseteq X$ y la distancia en $Y$ es la distancia en $X$ restringida a $Y$).

En nuestra situación tenemos una secuencia $(y_n)_n$ en $Y$ y esta converge a un punto $x \notin Y$. Pero así $(y_n)_n$ es una secuencia convergente en $X$ y así Cauchy en $X$ y así Cauchy en $Y$. Sin embargo, si $(y_n)_n$ convergiera en $Y$, habría un límite $y \in Y$ y por unicidad de límites obtenemos $y = x \notin Y$, lo cual es imposible.

Por lo tanto, tal secuencia no puede converger en $Y$ y hemos encontrado una secuencia Cauchy que no converge. Por lo tanto, $Y$ no puede ser completo.

Answer 3

Para el segundo método que mencionaste, ten en cuenta que $(1+1/n)^n$ es una sucesión de Cauchy en los racionales con respecto a la métrica usual restringida en $\Bbb{Q}$

Incluso si la sucesión $x_n$ converge a un punto $x \notin Y \subseteq X$, sigue siendo de Cauchy con la métrica restringida en $Y$(llámala $d_Y$)

Si $(Y,d_Y)$ fuera completo entonces existiría $z \in Y$ tal que $x_n \to z$.

Pero todo espacio métrico es Hausdorff y por lo tanto el límite de una sucesión es único, por lo que $z=x \notin Y$ lo cual es una contradicción.