¿Permite una declaración falsa aceptada probar cualquier cosa?

Question

Cuando estaba estudiando, el profesor de análisis matemático dijo algo interesante cuando estaba explicando la implicación (operador lógico), a saber $(False \implies True) = True$. Dijo algo como (según mi memoria):

Se puede derivar cualquier verdad de una falsedad. Si aceptamos una sola falsedad como verdad, entonces podemos probar cualquier teorema que deseemos.

Si entiendo correctamente, significa que si asumimos que $2+2=5$, entonces podemos proporcionar pruebas de que $\pi = 3$, o que $1 = 2$ o que $\sin^2 x + \cos^2 x \neq 1$.

¿Es cierta la afirmación en negrita? ¿Es posible probarla de forma canónica incluso aunque se asuma (temporalmente) aceptar una falsedad como verdad?

---

Solo para aclarar un poco, mi pregunta es principalmente sobre la afirmación del profesor y no sobre los principios de la implicación. Solo tengo curiosidad, ¿cuál es la escala de destructividad (en términos de sacar conclusiones lógicas de otra manera) al aceptar algo falso como verdad?

También me resulta interesante si esta observación se puede generalizar, en términos de si, por ejemplo, asumimos falsamente que los perros y los gatos son exactamente el mismo animal, ¿podemos probar (con una serie de conclusiones lógicas de otra manera) que, por ejemplo, la Estatua de la Libertad en realidad está ubicada bajo el agua o que la Luna está altamente poblada de ardillas (pero esa es una pregunta adicional, porque se expande fuera del campo de las matemáticas, supongo).

Answer 1

La verdad realmente se trata de la verdad de la afirmación condicional. Hay tres componentes en $p\to q$, son la afirmación $p$, la afirmación $q$, y la afirmación condicional $p\to q$ en su totalidad. La verdad de la condicional es si tu argumento es válido o no. El hecho de que $p$ sea falso y $q$ sea verdadero no hace problema al argumento. De hecho, el mundo está lleno de este tipo de argumentos válidos, pero que son completamente absurdos. Considera el ejemplo, "debido a la incompetencia del presidente, la economía está en ruinas." No hay nada malo con este argumento (la afirmación condicional $p\to q$). Realmente podría ser el caso de que el presidente está haciendo un mal trabajo (la afirmación $p$) que resulta en la recesión económica (la afirmación $q$), o podría ser realmente algo más (por ejemplo, el comportamiento del consumidor después de la pandemia). Todos aprovechamos este comportamiento de la afirmación condicional de vez en cuando para ganar ventaja contra nuestros oponentes, grandes o pequeños, de forma consciente o inconsciente. La escala de destructividad de este comportamiento de $p\to q$ es global.

Answer 2

Intuitivamente, todas las afirmaciones verdaderas son igualmente verdaderas, y todas las afirmaciones falsas son igualmente falsas. No hay tal cosa como una afirmación verdadera que sea "más verdadera" que otra, o una afirmación falsa que sea "más falsa" que otra. Si aceptamos una afirmación falsa como verdadera, eso significa que tenemos una falsedad que es exactamente tan verdadera como una afirmación verdadera. Y dado que todas las falsedades son igualmente verdaderas, si aceptamos siquiera una falsedad como verdadera, cualquier y todas las falsedades deben ser verdaderas.

Es simple construir implicaciones lógicas que utilizan dos afirmaciones falsas, y podemos hacerlo porque una implicación con un antecedente falso siempre es verdadera - siempre podemos afirmar verazmente que cualquier afirmación falsa implica cualquier otra cosa. Pero si el antecedente es tomado realmente como verdadero, entonces la segunda afirmación falsa también se da como verdadera.

"Si un perro y un gato son lo mismo, entonces yo mido 10 pies de altura."

Answer 3

¿Permite una declaración falsa aceptada probar cualquier cosa?

Solo como un resultado intermedio en una prueba (ver línea 5 en el ejemplo siguiente). Tenga en cuenta que una prueba no está completa hasta que se haya descartado cada premisa/suposición (líneas 1 y 2 aquí).

Usando una forma de deducción natural, podemos probar, por ejemplo, que $P \land \neg P \implies Q$ de la siguiente manera:

(Captura de pantalla)

No es $Q$, sino más bien $P \land \neg P \implies Q$ lo que se ha probado aquí como un teorema de lógica proposicional. No nos dice nada sobre el valor de verdad de $Q$.

Aquí está la tabla de verdad:

$P \land \neg P \implies Q$ es siempre verdadero. En particular, cuando $P$ es verdadero (líneas 1-2 de la tabla de verdad), $Q$ podría ser verdadero o falso. De la misma manera cuando $P$ es falso (líneas 3-4).

(Versión de texto de la prueba)

Suponiendo la falsedad...

1   P & ~P
    Premisa

    Probar: Q

    Supongamos por el contrario...

    2   ~Q
        Premisa

    3   P & ~P
        Copiar, 1

Descartar la premisa en la línea 2

Por contradicción...

4   ~~Q
    Conclusión, 2

Podemos inferir solo como un RESULTADO INTERMEDIO...

5   Q
    Rem DNeg, 4

Completamos la prueba descargando la premisa
en la línea 1 para obtener el teorema...

6   P & ~P => Q
    Conclusión, 1

Answer 4

Esto no es del todo cierto para todas las lógicas que actualmente están siendo utilizadas activamente por los matemáticos. En la lógica clásica, de hecho se puede probar cualquier cosa mediante un argumento reductio ad absurdum. De hecho, supongamos que quiero probar la proposición $P$. Realizaré una prueba por contradicción. Supongamos que $P$ no es cierto. Pero notemos que $2+2=5$, una contradicción. Por lo tanto, $P$ necesariamente es cierto.

Sin embargo, notemos que lo que realmente hemos probado es $\neg \neg P$ (la negación de la negación de $P$). En la lógica clásica esto es equivalente a $P$. Pero en la lógica intuicionista no lo es. No sé si la lógica intuicionista salva el día o no, pero de todos modos no parece ser inmediato que a partir de una contradicción se pueda probar cualquier cosa, en la lógica intuicionista.