¿Permite una declaración falsa aceptada probar cualquier cosa?

Question

Cuando estaba estudiando, el profesor de análisis matemático dijo algo interesante cuando estaba explicando la implicación (operador lógico), a saber $(False \implies True) = True$. Dijo algo como (según mi memoria):

Se puede derivar cualquier verdad de una falsedad. Si aceptamos una sola falsedad como verdad, entonces podemos probar cualquier teorema que deseemos.

Si entiendo correctamente, significa que si asumimos que $2+2=5$, entonces podemos proporcionar pruebas de que $\pi = 3$, o que $1 = 2$ o que $\sin^2 x + \cos^2 x \neq 1$.

¿Es cierta la afirmación en negrita? ¿Es posible probarla de forma canónica incluso aunque se asuma (temporalmente) aceptar una falsedad como verdad?

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Solo para aclarar un poco, mi pregunta es principalmente sobre la afirmación del profesor y no sobre los principios de la implicación. Solo tengo curiosidad, ¿cuál es la escala de destructividad (en términos de sacar conclusiones lógicas de otra manera) al aceptar algo falso como verdad?

También me resulta interesante si esta observación se puede generalizar, en términos de si, por ejemplo, asumimos falsamente que los perros y los gatos son exactamente el mismo animal, ¿podemos probar (con una serie de conclusiones lógicas de otra manera) que, por ejemplo, la Estatua de la Libertad en realidad está ubicada bajo el agua o que la Luna está altamente poblada de ardillas (pero esa es una pregunta adicional, porque se expande fuera del campo de las matemáticas, supongo).

Answer 1

Curiosamente, esto es bastante correcto. Es difícil encontrar una lógica razonable que no permita esto.

Tus ejemplos aritméticos son fáciles de tratar. Si $$2+2=5$$ entonces podemos proceder:

$$\begin{align} 2+2 &= 5 \\ 2 & = 3 &\text{restar $2$}\\ 0 & = 1 &\text{restar $2$ de nuevo}\\ 0 & = \pi - 3 &\text{multiplicar por $\pi-3$} \\ 3 & = \pi &\text{sumar $3$} \end{align}$$

como lo solicitaste. (También es fácil obtener $1=2$ o tus otras fórmulas).

Pero el problema va más allá de la aritmética. El principio lógico aquí se llama el principio de explosión o a veces “EFQ” de forma breve, y es muy difícil de evitar.

Supongamos que nuestro sistema lógico tiene una operación “o” $\lor$ donde $$X\lor Y$$ significa $$X \text{ es verdadero, o } Y \text{ es verdadero, o ambos.}$$ Entonces estas reglas tienen mucho sentido:

1. Si hemos probado $X$, podemos concluir $X\lor Y$ para cualquier $Y$ en absoluto.
2. Si hemos probado $X\lor Y$ y sabemos que $X$ es falso, podemos concluir $Y$.

Si aceptas estas, entonces también debes aceptar EFQ. Esto es por qué: Supongamos que hemos probado $X$, que es falso. Por (1) podemos concluir $X\lor Y$, y dado que $X$ es falso, por (2) podemos concluir $Y$. Así que después de probar $X$, que es falso, podemos concluir $Y$ para cualquier $Y$ en absoluto.

Si no te gusta este resultado, necesitas decir cuál de (1) y (2) rechazarás.

(Pregunté sobre esto anteriormente. Es difícil deshacerse de ello.)

Answer 2

Otros han dado buenas razones por las que la declaración que el profesor presumiblemente pretendía es correcta.

Sin embargo, la declaración real

Si aceptamos una falsedad como verdad, entonces podemos demostrar cualquier teorema que queramos

no es del todo correcta. No es suficiente aceptar una falsedad como verdad: necesitaríamos aceptar algo que sea demostrablemente falso.

Después de todo, supongamos que tenemos una declaración verdadera $S$ que queremos demostrar. Una estrategia para hacer esto es la siguiente: asumir $\neg S$, deducir que $0=1$, concluir por contradicción que $S$ es verdadero. La declaración anterior afirma que siempre podemos llevar a cabo el paso intermedio, es decir, implica

Cualquier declaración verdadera puede ser demostrada por contradicción.

Pero sabemos que, en cualquier sistema axiomático razonable, hay declaraciones verdaderas que no se pueden demostrar.

Answer 3

Hablando en términos algebraicos, siempre se puede probar $a=b$ después de hacer una declaración falsa.

$\\$$2+2=5\\ 0=1\\ 0=(b-a)\\ a=b$

Answer 4

Se debe notar que la declaración $~A \implies B~$ es
equivalente a la declaración $~(\neg A) \vee B.$

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Dada la declaración $~P,~$ y dadas las siguientes condiciones:

• Axioma-1 $~P~$ es verdadera

• Axioma-2 $~\neg P~$ es verdadera.

Entonces, dada cualquier declaración $~Q,~$ se tiene que

$~P \implies (P \vee Q) \iff [(\neg P) \implies Q].$

Así, se tiene

$$\{ ~(\neg P) ~\wedge ~[ ~(\neg P) ~\implies ~Q ~] ~\} ~\implies Q.$$

Answer 5

Es sorprendente, y depende de algunos aspectos específicos del sistema lógico que normalmente usamos en matemáticas.

Si F es falso entonces para cualquier afirmación A tenemos la afirmación verdadera de que F implica A (esta implicación es falsa solo si A es falso y F es verdadero, lo cual no es el caso).

Luego las reglas normales de inferencia nos dicen que dada F (que se nos dice que tenemos) y sabiendo que F implica A, podemos inferir A.

Pero A no fue especificado y puede ser cualquier afirmación.

Así que si la implicación se entiende como usualmente se entiende, y las reglas de inferencia que se nos permiten incluyen deducciones simples a partir de implicaciones, entonces a partir de una sola afirmación falsa podemos inferir cualquier afirmación que sea expresable en el lenguaje que estamos usando.