Topológico anillos colectores

Question

Es la declaración siguiente: "Cada liso colector $M$, que es un anillo en la categoría de colectores, debe ser diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$."? (En realidad, homeomórficos sería suficiente.) Supongo colectores para ser Hausdorff, de segunda contables y positivo-dimensional, para excluir finito anillos.

Tengo fuertes sentimientos que este debe ser el caso. Hay un "simple" prueba de ello? Que no saben nada acerca de la teoría de la Mentira de los grupos, por lo que cualquier argumento el uso de estos tendría que ser simple de entender para mí. Por otro lado, me siento muy cómodo con el "estándar" de la topología algebraica (primaria homotopy teoría de homología, cohomology anillos y demás...).

Edit: lo siento mucho por no hacer esto en claro en el primer tiempo, pero supongo que todos los colectores de ser sin límite.

Answer 1

Si su anillo de $R$ es un (ruta)conectado topológico colector, entonces es contráctiles. Quienes publican anteriormente se han mencionado ya que su colector debe ser de la forma $\mathbb{R}^n \times (S^1)^m$, y contractibilidad excluye los factores de $S^1$.

Para mostrar esto, elegir un camino de $\gamma$$1$$0$$R$. A continuación, el mapa $$ H(r,t) = r \cdot \gamma(t) : R \times [0,1] \R $$ es una contracción de $R$.

Answer 2

Un par de notas. Supongamos $M$ está conectado.

$M$ va a ser un grupo abelian en la categoría de los colectores. Ya que la ley en sí misma por la traducción de manera homogénea, es un homogénea colector y por lo tanto no tiene límites. Estándar Mentira teoría muestra que debe ser de la forma $\mathbb R^n\times (S^1)^m$ algunos $n,m\geq0$.

El conjunto de elementos de la $x\in M$ tal que el aditivo subgrupo $(x)$ ha compacto de cierre es un ideal.

El conjunto de torsión de los elementos es un ideal, y lo que es propio y distinto de cero. De ello se desprende que el cierre es también un ideal: este es $0\times(S^1)^m$.