Estoy tratando de expandir la serie $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}$ cuando $n$ es un entero mayor que cero, utilizando la suma por partes. Estoy utilizando la siguiente definición de suma por partes.\begin{equation} \sum_{k=1}^{n}\Delta V(k)U(k)=V(k)U(k)|_{k=1}^{n+1}-\sum_{k=1}^nV(k)\Delta U(K)\end{equation>Cuando estaba expandiendo la serie, dejé $U(k)=\binom{n}{k}$ y $\Delta V(k)=1$. Mi resultado fue el siguiente. \begin{equation}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}=k\binom{n}{k}|_{k=1}^{n+1}-\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\end{equation>Cuando evaluo el primer término en el lado derecho, descubro que tengo el factorial de menos uno. Por ejemplo, cuando dejo $n=1$ obtengo el siguiente resultado. \begin{equation}\sum_{k=1}^1\binom{1}{k}=k\binom{1}{k}|_{k=1}^2-\sum_{k=1}^1k\binom{1}{k}\left(\frac{1-2k-1}{k+1}\right)\end{equation> \begin{equation}1=2\binom{1}{2}-1-(-1)\end{equation> \begin{equation}1=\frac{1}{(-1)!}\end{equation> Según la última afirmación, el factorial de menos uno se asume como uno, pero la función gamma dice que el factorial de menos uno es infinito. ¿Cometí un error en algún lugar o esto es simplemente un caso en el que la suma por partes no se cumple?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Estoy usando la siguiente definición de suma por partes. \begin{equation} \sum_{k=1}^{n}\Delta V(k)U(k)=V(k)U(k)|_{k=1}^{n+1}-\sum_{k=1}^nV(k)\Delta U(K)\end{equation>
Vamos a comprobar esto estableciendo $n = 1$: $$\begin{eqnarray} \Delta V(1)U(1) &=& V(2)U(2) - V(1)U(1) - V(1)\Delta U(1) \\ (V(2) - V(1))U(1) &=& V(2)U(2) - V(1)U(1) - V(1)(U(2) - U(1)) \\ V(2)U(1) - V(1)U(1) &=& V(2)U(2) - V(1)U(2) \end{eqnarray}$$
Por lo tanto, si, por ejemplo, tenemos $V(1) = 0$ también debemos tener ya sea $V(2) = 0$ o $U(1) = U(2)$.
Conclusión: estás usando una definición incorrecta, por lo que no es de extrañar que tengas problemas.
Si tomamos la definición de Wikipedia: $$\sum_{k=m}^{n} f_{k} \Delta g_{k} = \left[f_{\color{#C00} n}g_{n+1} - f_{m}g_{m}\right] - \sum _{k=m}^{n \color{#c00} {-1}} g_{k \color{#c00}{+1}}\Delta f_{k}$$ (diferencias resaltadas en color) y sustituimos $m = 1$, $f(k) = \binom{n}{k}$, $g(k) = k-1$, obtenemos $$\begin{eqnarray}\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} &=& \left[\binom{n}{n} n - \binom{n}{1}0 \right] - \sum _{k=1}^{n-1} k \binom{n}{k}\left( \frac{n-2k-1}{k+1} \right) \\ &=& n - \sum _{k=1}^{n-1} k \binom{n}{k}\left( \frac{n-2k-1}{k+1} \right) \end{eqnarray}$$
