Aclarando la notación PDE C^1([0,T], X).

Question

Al estudiar ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicas no lineales, me he encontrado con los siguientes espacios:

1. $C([0,T],H^s(\mathbb{R}^n))$.
2. $C^1([0,T], H^s(\mathbb{R}^n))$.
3. $L^p([0,T],H^s(\mathbb{R}^n))$.

Presume que $(1)$ consiste en aquellas funciones $u:[0,T]\to H^s(\mathbb{R}^n)$ que son continuas (en la métrica) y que $(1)$ es un espacio de Banach con la norma \begin{align}||u||=\sup_{0\le t\le T}||u(t,x)||_{H^s_x(\mathbb{R}^n)}\end{align}

Ahora bien, (3) tampoco parece ser algo imaginario; es la colección de funciones medibles de Borel de $[0,T]$ a $H^2(\mathbb{R}^n)$ que satisfacen \begin{align} ||u||=\left(\int_{0}^{T}||u(t,x)||_{H^s_x(\mathbb{R}^n)}^{p}\ dt\right)^{\frac{1}{p}}<\infty \end{align} Alternativamente, se puede definir rigurosamente la noción de integrar una función valorada en un espacio de Banach como, por ejemplo, hace Evans. Lo que me tiene atascado es $(2)$. Soy nuevo en este campo, y no he encontrado esta notación (estoy leyendo las notas de Sogge). ¿Significa esto que los cocientes de diferencia \begin{align}\lim_{h\to 0}\frac{||u(t_0+h,x)-u(t,x)||_{H^s(\mathbb{R}^n)}}{h} \end{align}existen para cada $t_0\in [0,T]$? ¿Quizás esto significa que las derivadas débiles espaciales se encuentran en $C([0,T],H^(\mathbb{R}^n))$, o que lo hacen las derivadas débiles temporales? ¿Podrías ayudarme a entender esto? Además, ¿cuál sería la norma para cualquiera de las respuestas correctas? Por último, en aras de enseñarme a pescar, ¿podrías dirigirme a una fuente que defina rigurosamente (2)? Gracias.

Answer 1

Sean $X$, $Y$ espacios de Banach y $U\subset X$ abierto. Una función $u\colon U\to Y$ se dice que es diferenciable en $a\in U$ si existe un operador lineal $Du_a\colon X\to Y$ (la diferencial de $u$ en $a$) tal que $$ u(a+h)=u(a)+Du_a(h)+o(h). $$ Si $u$ es continua, entonces $Du_a$ también es continuo. Si $u$ es continua y diferenciable en cada punto de $U$, esto define un mapa $Du\colon U\to\mathcal{L}(X,Y)$, el espacio de operadores lineales continuos de $X$ a $Y$. Si este mapa es continuo, entonces $u$ se dice que es $C^1$.

En tu caso $U\subset\mathbb{R}$ es un intervalo y $Y=H^s$. La diferencial es un mapa lineal de $\mathbb{R}$ a $Y$. Puede ser escrito como $Du_a(t)=t\,u'_a$ donde $u'_a=Du_a(1)$. Entonces, la definición de diferenciabilidad es $$ u(a+h)=u(a)+h\,u'_a+o(h). $$ Esto es equivalente a $$ \lim_{h\to0}\frac{u(a+h)-u(h)}{h}=u'_a. $$ Si el mapa $a\in U\mapsto u'_a\in Y$ es continuo, $u$ es $C^1$.