¿Una forma tweetable de ver que la energía de Willmore es invariante bajo transformaciones de Möbius?

Question

Considere una variedad riemanniana compacta orientable $M$ (sin borde) inmersa isométricamente en $\mathbb{R}^3$. La energía de Willmore de $M$ es la funcional

$$\mathcal{W} = \int_M H^2 dA$$

donde $H$ es la curvatura media inducida. Estoy buscando una forma corta, dulce y completamente convincente (aunque no necesariamente completamente formal) de demostrar que la energía de Willmore es invariante bajo transformaciones de Möbius. Por supuesto, $H$ en sí mismo es invariante bajo movimientos rígidos, así que lo único que realmente necesita ser explicado es la invarianza de escala y la invarianza con respecto a inversiones de esferas.

Mi forma peculiar de ver la invarianza de escala es que si piensa en la superficie como una inmersión conforme $f:M \rightarrow \mathbb{R}^3$ entonces la energía de Willmore es simplemente la norma (al cuadrado) $L^2$ de la denominada semidensidad de curvatura media $H|df|$ donde $|df|: TM \rightarrow \mathbb{R}; X \mapsto |df(X)|$ se puede pensar como el elemento de longitud (isotrópico). Y dado que la curvatura media multiplicada por la longitud es invariante bajo escala, lo es también la energía de Willmore. Pero esa es una manera peculiar de ver las cosas, y ciertamente no la explicación más sencilla.

En cuanto a las inversiones de esferas, mi única idea es que las inversiones son reflexiones en la geometría hiperbólica. Y las reflexiones son isometrías... Así que tengo la sospecha de que el espacio hiperbólico proporciona una explicación linda --quizás para la invarianza de Möbius en su totalidad-- pero tal explicación se me escapa.

¡Otras perspectivas son, por supuesto, muy bienvenidas!

Actualización: es tentador intentar demostrar que la energía de Willmore es más generalmente invariante conforme, pero esta afirmación no es cierta --en dos dimensiones la estructura conforme es mucho más flexible que en dimensiones tres o superiores. En particular, dada una superficie suave $M$ equipada con una estructura conforme hay muchas inmersiones $f: M \rightarrow \mathbb{R}^3$ tales que la métrica inducida es compatible con la estructura conforme, y no todas estas inmersiones tendrán la misma energía de Willmore. Un ejemplo concreto son las esferas de Dirac, que son inmersiones conformes de $S^2$ con densidad de curvatura media constante cada vez más grande, por lo tanto, una energía de Willmore creciente (algunas imágenes aquí, desafortunadamente de baja resolución). Pero dado que solo hay una estructura conforme en $S^2$, $\mathcal{W}$ no puede ser invariante conforme.

Answer 1

La energía de Willmore $\mathcal{W} = \int_M H^2 dA$ difiere de la funcional $$\widetilde{\mathcal{W}} = \int_M (H^2-K) dA$$ solo por una constante como se puede ver a partir del teorema de Gauss - Bonnet ($K$ aquí es la curvatura Gaussiana de $M$).

La expresión $H^2-K$ en $\widetilde{\mathcal{W}}$ es la mitad del cuadrado de la longitud de la parte libre de traza del segunda forma fundamental que es una densidad invariante conformal (puntualmente) de peso conformal $-2$, mientras que "dA" se puede ver como una densidad con peso conformal $2$, así que la integrando entera $(H^2-K) dA$ es independiente de la elección de una métrica.

Así que $\widetilde{\mathcal{W}}$ es claramente conforme, y en particular, invariante de Möbius. También lo es $\mathcal{W}$.

(Un teorema de Liouville asegura que las aplicaciones conformes de $\mathbb{R}^n$, $n\ge 3$, son restricciones de transformaciones de Möbius.)

Edit. Lo anterior es un intento de abordar la solicitud original de un argumento "twitteable".

Por supuesto, la afirmación precisa es que la energía de Willmore es invariante conforme con respecto a las transformaciones conformes del espacio ambiente. (De lo contrario no podríamos invocar el teorema de Liouville).

La definición correcta de la energía de Willmore implica una inmersión $f\colon M \rightarrow \mathbb{R}^3$ y la estructura conforme inducida en la variedad inmersa. Las esferas de Dirac muestran, en particular, que la energía de Willmore sí depende de la inmersión.

Answer 2

Existe la noción de la esfera de curvatura media para superficies $f\colon M\to R^3$ en el espacio tridimensional: para $p\in M$ se define la esfera $S(p)$ como la única esfera que pasa por $f(p),$ que tiene en $f(p)$ el mismo espacio tangente, y que tiene la misma curvatura media. Entonces se puede demostrar que esta noción es invariante bajo Moebius. Además, la energía de la esfera de curvatura media en el espacio de esferas es exactamente la funcional de Willmore. Por supuesto, se deben realizar algunos cálculos para esto, pero la esfera de curvatura media es claramente un objeto importante en el campo de la geometría de superficies invariante bajo Moebius.

Alguna literatura: Bryant: Un teorema de dualidad para superficies de Willmore. Revista de Geometría Diferencial 20, Burstal, Ferus, Leschke, Pedit, Pinkall: Geometría conforme de superficies en S4. Notas de conferencias en Matemáticas 1772