¿Es el funtor de extensión escalar para motivos de Chow conservativo?

Question

Denotemos por $CHM(F)$ a la categoría de motivos de Chow sobre un campo $F$.

Consideremos una extensión algebraica $E/F$, entonces existe un funtor natural de extensión de escalares $CHM(F) \to CHM(E)$.

Me preguntaba si este funtor es conservativo, es decir, si un morfismo $f: M \to N$ se convierte en un isomorfismo después de una extensión de campo, ¿implica que $f$ es un isomorfismo en sí mismo?

Una pregunta relacionada es: si un motivo $M$ se convierte en cero después de una extensión de campo, ¿implica que $M = 0$? Creo que esta pregunta es más débil que la de ser conservativo.

Merkurjev-Gille-Chernousov (Corolario 8.4) demuestran esto para motivos de espacios homogéneos para acciones de grupos algebraicos (llamado el teorema de nilpotencia de Rost, ya que fue originalmente demostrado por Rost para cuádricas).

¿La gente cree que esto es cierto en general? ¿Está relacionado con algunas conjeturas motivicas estándar?

Gracias.

Answer 1

Con coeficientes racionales, la respuesta es sí.

El primer caso a entender es cuando $E$ es una extensión algebraica finita de $F$. En el caso en que además $E$ es puramente inseparable, entonces los funtores de extensión de escalares $CHM(F)\to CHM(E)$ son completamente fieles, y si $E$ es Galois de grado $d$, entonces el funtor de extensión de escalares $$ \pi^\star:CHM(F)\to CHM(E) $$ tiene un adjunto derecho $\pi_\star$, y para cualquier motivo $M$ sobre $F$, hay un mapa de traza $$ tr_M : \pi_\star \pi^\star(M)\to M $$ cuya composición con el mapa de unidad $$ M\to \pi_\star \pi^\star(M) $$ es una multiplicación por $d$. Si trabajas con coeficientes racionales, esto implica que $\pi^\star$ es entonces conservador y fiel.

A partir de ahí, para probar el caso general, podemos asumir que $E$ es un colímite filtrado de álgebras suaves $F$-algebraicas $A_i$. Pero entonces, para cualquier índice $i$, posiblemente después de tomar una extensión finita de $F$, el mapa $F\to A_i$ tiene una retracción, de modo que, escribiendo $CHM(E)$ como el $2$-colímite de las categorías $CHM(A_i)$, vemos fácilmente que los funtores de extensión de escalares son nuevamente fieles y conservadores (para motivos de Chow sobre una álgebra suave $F$-algebraica, vea por ejemplo la Definición 5.16 en el artículo de Levine arXiv:0807.2265).

Si realmente quieres motivos de Chow con coeficientes enteros, aún puedes tener que invertir la característica (exponencial) de $F$. Luego, asumiendo además que $F$ y $E$ son algebraicamente cerrados, los funtores de extensión de escalares seguirán siendo conservadores (esto utiliza teoremas de rigidez; ver O. Röndigs y P. A. Østvær, Rigidity in motivic homotopy theory, Math. Ann. 341 (2008), 651-675).