Continuidad de $f(x)= x\cos 1/x$ cuando $x\neq 0$, y $0$ en otro caso

Question

¿Es la siguiente función continua en $\mathbb R$?

$f(x)=\begin{cases}\begin{align} &x\cos \frac 1x & x\neq 0 \\ &0 & x=0 \end{align}\end{cases}$

Intenté derivarla y mostrar que el límite desde 0+ y 0- es 0 pero llego a expresiones de infinito más infinito y similares.

Esta es la derivada: $\frac 1x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)+\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$

Quizás esta función no es continua en absoluto?

Answer 1

Es bien sabido, que $$\left|\cos{a}\right|\leq 1$$ para cada $a\in\mathbb{R}$

Así, lo siguiente se cumple: $$\left|x\cos{1/x}\right|\leq \left|x\right|\cdot\left|\cos{1/x}\right| \leq\left|x\right|\cdot 1 = \left|x\right|$$ Por lo tanto $$\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 = f(0)$$

lo que significa que $f$ es continuo en $x=0$