Función dominada por su integral

Question

Sea $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ una función continua. Si existe una constante positiva $K$ tal que \begin{align} |g(x)| \leq K \int_a^x |g(t)| \, dt \end{align} para todo $x\in [a,b]$, entonces demuestra que $g(x)=0$ para todo $x\in [a,b]$.

Mi respuesta parcial: Como $|g(a)|\leq K \int_a^a |g(t)| \, dt=0$, entonces tenemos que $g(a)=0.

Answer 1

Sea $M$ una cota superior de $|g(x)|$ en $[a,b]$, tenemos:

$$\begin{align} &|g(x)| \le K \int_{a}^{x} M dt = MK (x - a)\\ \implies &|g(x)| \le K \int_{a}^{x} MK(x-a) = M \frac{(K(x-a))^2}{2!}\\ &\vdots\\ \implies &|g(x)| \le K \int_{a}^{x} M\frac{(K(x-a))^{n-1}}{(n-1)!} = M \frac{(K(x-a))^n}{n!}\\ &\vdots \end{align}$$ Esto significa que para todo $n > 0$, tenemos:

$$|g(x)| \le M \frac{(K(x-a))^n}{n!} \le M \frac{(K(b-a))^n}{n!}\tag{*}$$

Dado que la parte derecha de $(*)$ converge a cero cuando $n \to \infty$, obtenemos $g(x) = 0$.

Answer 2

Si $g$ es continua, entonces lo es su valor absoluto. Escríbelo como $$|g(x)| \le \alpha(x) + \int_a^x \beta(t)|g(t)|\ dt$$ donde, por supuesto, $\alpha(x) \equiv 0$ y $\beta(t) \equiv K.

Ahora la tesis se sigue fácilmente de la desigualdad integral de Gronwall, ver por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Gronwall's_inequality

Answer 3

Lo que voy a escribir probablemente sea muy similar a lo que encontrarías en una prueba de la desigualdad de Gronwall, y esa prueba muy bien podría estar en el enlace de la respuesta anterior.

Solo nos importa $|g|$, no $g$, así que sea $h = |g| \geq 0$, y define $H(x) = \int_a^x h(t)\,dt$. Entonces tienes

$$ H'(x) \leq KH(x),\quad H'(x) - KH(x) \leq 0.$$

Multiplica ambos lados de la desigualdad por el "factor integrante" positivo $e^{-Kx}$ y reescribe el lado izquierdo como $\frac{d}{dx}(e^{-Kx}H(x)) . Dejo el resto para ti.

Answer 4

Como señalan las otras respuestas, esta es una especie de desigualdad de Gronwall simplificada. Creo que la respuesta de Stefan Smith es una pista bastante buena sobre cómo puedes demostrar este caso especial. Solo quiero señalar que la frase "simplificada" realmente va un poco lejos. Esta desigualdad ya es lo suficientemente fuerte como para demostrar teoremas de unicidad de EDO bastante buenos, por ejemplo:

 

Teorema. Considere un "campo vectorial dependiente del tiempo" $F=F(X,t)$ que mapea $\mathbb{R}^n \times [a,b] \to \mathbb{R}^n$ que es "uniformemente Lipschitz" en el sentido de que existe una constante $K$ tal que   $$\| F(X,t) - F(Y,t)\| \leq K \cdot \|X - Y\|$$    se cumple para todos los $X,Y \in \mathbb{R}^n$ y $t \in [a,b]$. Entonces, a lo sumo una curva $X : [a,b] \to \mathbb{R}^n$ resuelve el IVP   \begin{align*} \frac{dX}{dt} = F(X(t),t) && X(a) = X_0. \end{align*>

 

Prueba. Supongamos que $X,Y$ son dos soluciones. Para cualquier $t \in [a,b]$, aplicar el teorema fundamental del cálculo (componente por componente) da como resultado   \begin{align*> X(t) - Y(t) &= X_0 - X_0 + \int_a^t \frac{dX}{ds} \ ds - \int_a^t \frac{dY}{ds} \ ds = \int_a^t \bigg[ F(X(s),s) - F(Y(s),s) \bigg] \ ds \end{align*>   de donde   $$\|X(t) - Y(t) \| \leq \int_a^t \|F(X(s),s)- F(Y(s),s)\| \ ds \leq K \cdot \int_a^t \|X(t) - Y(t)\|.$$>   Pero entonces, tu desigualdad integral implica que $t \mapsto \|X(t) - Y(t)\| : [a,b] \to \mathbb{R}$ es idénticamente cero, por lo que $X = Y.

...en respuesta a una pregunta que absolutamente no hiciste :)