Actualmente estoy estudiando la prueba original de equivalencia discreta/continua de la ecuación de Lyapunov por Rice 1967.
- Caso continuo: $A^\star L + L A = -C$ para $C \succcurlyeq 0$
- Caso discreto: $A^\star L A - L = -C $ para $C \succcurlyeq 0$
El documento afirma que el caso discreto se puede derivar del caso continuo al sustituir la transformación bilineal $ A = (B + I) (B - I)^{-1}$ en $A^\star L + L A = -C$ para finalmente obtener $B^\star L B - L = -\frac{1}{2} Y$ para $Y = (B^\star - I) C( B - I)$ después de algunas transformaciones elementales.
He intentado llegar a los mismos resultados:
$$ A^\star L + L A = -C \\ [(B + I) (B - I)^{-1}]^\star L + L (B + I) (B - I)^{-1} = -C \\ $$ Multiplicando por la izquierda por $(B^\star - I)$ y por la derecha por $(B-I)$ obtenemos: $$ (B^\star - I)[(B + I) (B - I)^{-1}]^\star L (B-I) + (B^\star - I) L (B + I) (B - I)^{-1} (B-I) = -(B^\star - I) C (B-I) \\ \iff (B^\star - I) \left((B-I)^{-1} \right)^\star (B+I)^\star L (B-I) + (B^\star - I) L (B + I) (B - I)^{-1} (B-I) = -(B^\star - I) C (B-I) \\ \iff (B^\star - I) \left((B-I)^\star \right)^{-1} (B+I)^\star L (B-I) + (B^\star - I) L (B + I) (B - I)^{-1} (B-I) = -(B^\star - I) C (B-I) \\ \iff \underbrace{(B^\star - I) \left(B^\star-I \right)^{-1}}_{=I} (B+I)^\star L (B-I) + (B^\star - I) L (B + I) \underbrace{(B - I)^{-1} (B-I)}_{=I} = -(B^\star - I) C (B-I) \\ $$ Lo cual podría expresarse como: $$ (B+I)^\star L (B - I) + (B^\star - I) L (B +I) = -Y $$ ¿Qué pasos me faltan para completar la prueba?
P.D.: El documento menciona las siguientes identidades de las cuales tampoco puedo verificar el último paso: $$ A = (B + I) (B - I)^{-1} \\ = (B - I)^{-1} (B + I) \\ = I + 2 (B - I)^{-1} $$
