Cómo convergen los exponenciales complejos y se cumple la regla "suma de exponentes"

Question

1. ¿Cómo es que la exponencial compleja converge para cualquier valor de $z$ en el plano complejo? $$e^{z} = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} \cdots\cdots$$

2. ¿Cómo es que la regla de la "suma de exponentes" se cumple para la exponencial compleja, es decir $e^{w}e^{z} = e^{w+z}$?

...¿usando solo la definición de $e^z$?

Answer 1

1. Uno puede usar la prueba de la razón o notar que para cada $z \in \mathbb{C}$ se tiene que $|z| \in \mathbb{R}$ y $$\sum_{n=0}^\infty\frac{|z|^n}{n!}=e^{|z|},$$ es decir, la serie $\sum_{n=0}^\infty z^n/n!$ converge absolutamente, y por lo tanto converge para cada $z \in \mathbb{C}$.

2. $$e^we^z=(\sum_{n=0}^\infty\frac{w^n}{n!})(\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!})=\sum_{n=0}^{\infty}A_n(w,z),$$ donde con el uso del producto de Cauchy se tiene $$\begin{eqnarray} A_n(w,z)&=&\sum_{k=0}^n\frac{w^k}{k!}\frac{z^{n-k}}{(n-k)!}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{n!}{n\choose k}w^kz^{n-k}=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n{n\choose k}w^kz^{n-k}=\frac{(w+z)^n}{n!}. \end{eqnarray}$$

Answer 2

$$e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$$ Colocando $$a_n:=\frac{1}{n!}\Longrightarrow R:=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty$$

Por lo tanto, la serie tiene radio de convergencia infinito y es absolutamente convergente para cualquier $\,z\in\Bbb C\,$ , y de aquí sigue que $$e^{w+z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(w+z)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{w^kz^{n-k}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{w^kz^{n-k}}{k!(n-k)!}=$$ $$=\sum_{k=0}^\infty\frac{w^k}{k!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}=:e^we^z$$

Answer 3

La segunda parte también se puede demostrar utilizando el teorema de la identidad: Dos funciones analíticas son iguales si coinciden en un conjunto con un punto límite. Mire $e^{w+z}$ y $e^w e^z$ con $w$ un número real fijo. Las dos funciones (como funciones de $z$) coinciden en la recta real. Por lo tanto, son iguales para todo $z \in \mathbb{C}$. Dado que $w$ era arbitrario, también coinciden como funciones de $w$ en la recta real. Nuevamente, por el teorema de la identidad, $e^{w+z}=e^w e^z$ para todo $w \in \mathbb{C}.