¿Qué significa la palabra 'with' en este teorema?

Question

Si $a, b$ y $c$ son enteros positivos con $a, b 2$, entonces la ecuación (1.1) tiene a lo sumo una solución en enteros positivos $x$ y $y$ con $b^y 6000 c^{1/(a,b)}.$

No estoy claro sobre el uso de la palabra 'con' en el párrafo anterior; ¿está diciendo este teorema

SI $b^y 6000 c^{1/(a,b)}$ ENTONCES la ecuación (1.1) tiene a lo sumo una solución

o

SI la ecuación (1.1) tiene a lo sumo una solución ENTONCES $b^y 6000 c^{1/(a,b)},$

o

¿es una declaración de tipo SI Y SOLO SI?

Answer 1

Si $a, b$ y $c$ son enteros positivos con $a, b ≥ 2$, entonces la ecuación (1.1) tiene a lo sumo una solución en enteros positivos $x$ e $y$ con $b^y ≥ 6000 c^{1/δ∗(a,b)}.$

En el teorema anterior, las dos apariciones de with tienen ambos un sentido lógico de 'y' y se pueden reemplazar con la frase 'tal que':

• Si $a, b$ y $c$ son enteros positivos tal que ni $a$ ni $b$ son $1,$ entonces si $x$ e $y$ son enteros positivos tales que $b^y ≥ 6000 c^{1/δ∗(a,b)},$ entonces la ecuación (1.1) tiene a lo sumo una solución

• $a, b$ y $c$ son enteros positivos y ni $a$ ni $b$ son $1\quad\implies$

  ($x$ e $y$ son enteros positivos y $b^y ≥ 6000 c^{1/δ∗(a,b)}$ $\implies$ la ecuación (1.1) tiene a lo sumo una solución)

• $a, b, c, x$ e $y$ son enteros positivos  y  ni $a$ ni $b$ son $1$  y  $b^y ≥ 6000 c^{1/δ∗(a,b)}\quad\quad\implies$ la ecuación (1.1) tiene a lo sumo una solución.

¿Este teorema está diciendo

SI $b^y ≥ 6000 c^{1/δ∗(a,b)}$ ENTONCES

No. Esa condicional implícita (el segundo '⟹' en el segundo punto) anterior no es realmente debido a la palabra with en sí misma, porque su condición es en realidad todo el trozo “en enteros positivos $x$ e $y$ con $b^y ≥ 6000 c^{1/δ∗(a,b)}\,$”.

En esta respuesta, explico por qué las palabras with y where son frecuentemente ambiguas en traducciones lógicas.