Sea $u$ una función $C^2$ de $\mathbb{C}^n$ a $\mathbb{C}$. Definimos $$ \partial u = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial z_i}dz_i, \\ \overline{\partial} u = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial \overline{z}_i}d\overline{z}_i $$ Si $v = v' \wedge dz_i$, podemos definir $\partial v = \partial v' \wedge dz_i$, $\overline{\partial} v = \overline{\partial} v' \wedge dz_i$ y por analogía podemos definir tales operadores para $v = v'' \wedge d \overline{z}_i$. A continuación definimos los operadores $$ d = \partial + \overline{\partial}, \;\;\; d^c = i(\overline{\partial} - \partial) $$ Tenemos $dd^c u = 2i \partial \overline{\partial} u$. Quiero calcular la $n$-ésima potencia exterior de $dd^c u$. ¿Es posible hacerlo sin cálculos directos que involucren un cambio de variables de suma?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $u$ es $C^2$, entonces $$(dd^c u)^n = n! \, 4^n \, \det \left(\frac{\partial^2u}{\partial z_j\partial\bar z_k}\right)\,dV. $$
Entonces, (ignorando constantes que generalmente son irrelevantes), $(dd^c u)^n$ es el determinante de la Hessiana compleja. El operador $(dd^c \cdot)^n$ se llama el operador complejo de Monge-Ampère y juega un papel crucial en la teoría pluripotencial, el estudio sistemático de funciones plurisubarmónicas (psh). Es posible extender el dominio de definición de $(dd^c \cdot)^n$ a algunas clases de funciones psh no suaves, pero no a todas las funciones psh. Encontrar el dominio de definición óptimo para el operador complejo de Monge-Ampère es un problema con una larga y complicada historia y solo fue resuelto completamente recientemente. (Ver Cegrell, La Definición General del Operador Complejo de Monge-Ampère, Ann. de l'Inst. Fourier, 54, (2004), p.159-179 y Blocki, El dominio de definición del operador complejo de Monge-Ampère, Amer. J. Math. 128 (2006), 519-530.)
Agregado para la pregunta de seguimiento Creo que la manera más fácil de ver que $(dd^c u)^n$ es un determinante, es observar que $$\omega_1 \wedge \omega_2 \wedge \cdots \wedge \omega_n$$ es una forma multilineal alternante, casi por definición del producto exterior. La única forma alternante $n$-lineal en un espacio vectorial $n$-dimensional es (hasta un múltiplo constante) el determinante. Si realmente necesitas la constante, debes reemplazar algunos vectores inteligentemente elegidos para ver cuál es.
