¿Cómo se asemeja el logaritmo de un número entero al grado de un polinomio?

Question

Recientemente he estado leyendo el libro de Serge Lang Math Talks for Undergraduates,, específicamente una sección sobre la conjetura abc. Lang comienza afirmando y demostrando el Teorema de Mason-Stothers:

Sean $f,g \in \mathbf{C}[t]$ no constantes y primos relativos. Entonces $ \text{deg}(f+g) \leq n_0[fg(f+g)]-1$, donde $n_0$ es el número de raíces distintas de un polinomio

Luego, Lang traduce el teorema de Mason-Stothers a un teorema sobre los enteros. Al hacerlo, afirma "La experiencia muestra que el análogo del grado es el logaritmo del valor absoluto del entero." ¿Por qué es así? Para un entero $a$ y un polinomio $f$, ¿cómo es que $\log(|a|)$ es análogo a $\text{deg}(f)$?

Answer 1

Lang dice que la experiencia muestra esto. Solo quiero mencionar la siguiente analogía. Escribir un entero en notación decimal es como escribir un polinomio. Por ejemplo, $$ 1045 = 1\cdot10^3+0\cdot10^2+4\cdot10^1+5\cdot1. $$ Aquí el grado es $3$, que es el logaritmo del término principal, $1000$.

Answer 2

Aquí hay una manera concreta en la que son análogos:

• $\mathrm{deg}\,(f \times g) = \mathrm{deg}\,f + \mathrm{deg}\,g$
• $\log |xy| = \log |x| + \log |y|$

También: el grado del polinomio constante cero a menudo se deja indefinido, o se dice que es $-\infty$. Esto es necesario para que se cumpla la identidad anterior, pero también es directamente análogo al hecho de que $\log 0$ es o bien indefinido o $-\infty$.

Answer 3

Existe una cierta analogía entre el anillo de polinomios sobre un campo, $k[x]$ y el anillo de enteros, $\mathbb{Z}$. Nota que ambos son dominios euclídeos.

Ahora, para un campo finito, $k=\mathbb{F}_q$, con $q$ elementos y un polinomio $f\in k[x]$ de grado $d$, el número de elementos en el cociente es $q^d$: $$ | k[x] / f\cdot k[x] | = q^d. $$ En otras palabras, $d = \log_q |k[x]/f\cdot k[x]|$.

¿Qué tal la cardinalidad de un cociente de $\mathbb{Z}$? Si $a\in\mathbb{Z}$ es un entero, entonces tenemos $$ | \mathbb{Z}/a\cdot \mathbb{Z}| = |a|. $$ Por lo tanto, $\log |a|$ se supone que es el análogo entero del grado de un polinomio.

De hecho, hay muchos teoremas donde esta analogía resulta ser bastante útil. Podrías disfrutar del maravilloso libro "Number Theory in Function Fields" de Rosen que contiene muchos ejemplos de este fenómeno.

Answer 4

Quiero ampliar el comentario de @math54321 y la respuesta de @Dietrich Burde.

Si escribimos un número natural no nulo $n$ como $n = \sum_{j = 0}^{m} a_j 10^j$, donde $a_j \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ y $a_m \neq 0$, es decir, como su expansión decimal, entonces obtenemos que

$$ m \leq \log_{10} \left( \sum_{j = 0}^{m} a_j 10^j \right) < m +1,$$

lo cual puede ser reescrito como

$$ \lfloor \log_{10}(n) \rfloor = m. $$

Esto es por supuesto análogo al grado de un polinomio $\sum_{j = 0}^m a_j X^j$, que es precisamente $m$ (bajo la suposición de que $a_m \neq 0$).

Para completitud, vamos a demostrar esto: Primero note que el logaritmo es no decreciente. Entonces, dado que $a_m 10^m \leq \sum_{j = 0}^{m} a_j 10^j$, obtenemos

$$ \log_{10} \left( a_m 10^m \right) \leq \log_{10} \left( \sum_{j = 0}^{m} a_j 10^j \right). $$

El límite inferior es igual a $\log_{10} (a_m) + \log_{10} (10^m) $, lo cual siempre es mayor que $\log_{10}(10^m)$, dado que $a_m \geq 1$. En total

$$ m = \log_{10} (10^m) \leq \log_{10} \left( \sum_{j = 0}^{m} a_j 10^j \right). $$

Por otro lado, podemos estimar $\sum_{j = 0}^{m} a_j 10^j$ de la siguiente manera: El peor caso es que todos los $a_j$ sean iguales a $9$. Entonces $ \sum_{j = 0}^{m} a_j 10^j \leq \sum_{j = 0}^{m} 9 \cdot 10^j $ es lo mejor que podemos hacer. Pero esta es una suma geométrica y puede simplificarse a

$$ \sum_{j = 0}^{m} 9 \cdot 10^j = 9 \frac{1 - 10^{m+1}}{1 - 10} = 10^{m+1} - 1. $$

Para el logaritmo obtenemos entonces

$$ \log_{10} \left( {\sum_{j = 0}^{m} a_j 10^j} \right) \leq \log_{10} (10^{m+1} - 1) < \log_{10} (10^{m+1} ) = m +1.$$

¡Esto concluye la demostración!

Si $n = 0$, entonces $\log_{10}(0)$ se puede ver como $\lim_{x \to 0} \log_{10} (x) = - \infty$, lo cual también coincide con el grado del polinomio cero siendo $- \infty$.

Así que aquí tenemos una analogía precisa entre el logaritmo y el grado de un polinomio. Esto por supuesto también funciona para todas las bases distintas de $10$.

Answer 5

El grado de un monomio es (dejando de lado el coeficiente) el logaritmo.

Para un logaritmo, tenemos $\log(ab) = \log(a)+\log(b)$, y para los grados, tenemos $\deg(fg) = \deg(f)+\deg(g)$.

Para la suma, hay una ligera discrepancia, en el sentido de que $\log(a+b) = \log(a)+ r - \frac {r^2}2 + \frac{r^3}3 ...$, donde $r = \frac a b$, mientras que $\deg(f+g) = \max(\deg(f), \deg(g)$. Esto puede parecer un comportamiento muy diferente, pero si $a \gt \gt b$, $\log(a+b) \approx a$.

Puedes pensar en $\deg(f)$ como $\lim_{x \rightarrow \infty} \log_xf(x)$. Es decir, el grado te dice a qué potencia de $x$ se aproxima asintóticamente el polinomio.