Largo trignometría inversa

Question

Si se nos da la siguiente ecuación: $$y =\arctan \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}$$ Entonces tenemos que probar que $x^2 = \sin2y$

Intenté multiplicando la ecuación por 2 en ambos lados y luego intenté convertir arctan en arcsin.

Pero se vuelve demasiado largo para resolver.

¿Hay algún método más corto?

Answer 1

CONSEJO:

$$\tan y=\dfrac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}$$

Utilice la sustitución de Weierstrass

Answer 2

Podemos hacer esto fácilmente usando repetidamente componendo and dividendo. $$\tan y=\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}$$ $$\Rightarrow \frac{1+\tan y}{1-\tan y} =\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$$ $$\Rightarrow \frac{1+x^2}{1-x^2} = (\frac{1+\tan y}{1-\tan y})^2 $$ $$\Rightarrow x^2 = \frac{(1+\tan y)^2-(1-\tan y)^2}{(1+\tan y)^2+(1-\tan y)^2} = \frac{2\tan y}{1+\tan^{2} y} = \sin 2y$$ Espero que te ayude.

Answer 3

Como $0\le x^2\le$ sea $x^2=\cos2u,$ sin pérdida de generalidad $0\le2u\le\dfrac\pi2$

$$\tan y=\dfrac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{\cos u-\sin u}{\cos u+\sin u}=\tan\left(\dfrac\pi4-u\right)$$

$y=m\pi+\dfrac\pi4-u$ donde $m$ es cualquier entero

$\implies2u=2m\pi+\dfrac\pi2-2y\implies x^2=\cos2u=\cdots=\sin2y$