Por qué no puede el Polinomio Anillo de ser un Campo?

Question

Actualmente, estoy estudiando Polinomio Anillos, pero no puedo entender por qué son los Anillos, no los Campos. En la definición de un Campo, un Conjunto construye un Conmutativa Grupo con la Suma y la Multiplicación. Esto implica una relación inversa múltiple para cada Elemento en el Conjunto.

El libro no elaborar sobre esto, sin embargo. No entiendo por qué un Polinomio Anillo no podía tener un inverso multiplicativo de cada elemento (al menos en los números Enteros, y que ya ha dado que tiene un elemento neutro). Podría alguien por favor explique por qué esto no puede ser así?

Answer 1

SUGERENCIA de $\rm\qquad\rm x \; f(x) = 1 \;$ en $\rm R[x]\:\ \Rightarrow\: \ 0 = 1 \ $ $\rm R \ \ $ evaluando en $\rm\ x = 0\:. $

NOTA $\:\ $ Esto tiene un muy instructivo universal interpretación: si $\rm\: x\:$ es una unidad en $\rm\: R[x]\:$, a continuación, también lo es cada $\rm\: R$-álgebra elemento $\rm\: i\:,\:$ como sigue evaluando $\ \rm x \ f(x) = 1 \ $ $\rm\ x = r\:.\ :$, Por tanto, presentar un contraejemplo es suficiente para exhibir cualquier nonunit en $\rm R$-álgebra. $\:$ Una elección natural es la nonunit $\;\rm 0\R\:,\:$ que los rendimientos por encima de la prueba.

Answer 2

Por $F[x]$ a ser un campo, debe demostrar que existe una relación inversa para cada elemento que no es 0. Ahora $x \in F[x]$, y claramente $x \ne 0$ (considerado como un polinomio). Pero si se multiplica $x$ por cualquier polinomio cero, el resultado siempre va a contener $x$ o poderes superiores, por lo que no tiene inversa.

Answer 3

Porque, por definición, el único polinomio que puede tener un efecto negativo grado es de $0 a$, que se define a tener un grado de $-\infty$. No-cero constantes grado $0$. A continuación, tiene el grado de la ecuación: $\deg (fg) = \deg (f) + \deg (g)$ para cualquier polinomios $f,g$. Por inspección, cualquier polinomio de grado $n \geq 1$ necesitaría como un proceso inverso a un polinomio de grado $- $ n, que no existe (es decir, lo Agustí Roig dijo!) El conjunto que desea no existe, sin embargo: se llama el campo de funciones racionales, y es precisamente el conjunto de cocientes de polinomios. Se construye de la misma manera que el campo de los números racionales es el anillo de enteros.

Answer 4

Las unidades de $D[x]$ son exactamente las unidades de $D$ cuando $D$ es un dominio.