Tengo este problema Sé que necesito aproximar el valor con el polinomio de Taylor y su fórmula de error es $$|R_n(x)|\leq \frac{1}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$ pero no pude entenderlo, ¿debería calcular hasta qué grado? ¿Debo usar radianes? ¿Alguien puede ayudarme con eso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Demasiado complejo seguro pero problema interesante.
Haciendo el problema más general, ya que por Taylor tenemos $$\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\sum_{n=0}^p (-1)^n \frac{\cos \left(n\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\right)}{n!} x^n+\sum_{n=p+1}^\infty (-1)^n \frac{\cos \left(n\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\right)}{n!} x^n$$ $$|R_p|=\frac 1 {\sqrt 2} \frac{x^{p+1}}{(p+1)!}$$ y quieres saber $p$ tal que $|R_p|\leq \epsilon$.
Esto escribe $$(p+1) ! > \frac {x^{p+1}} {\epsilon\sqrt 2}$$ Si miras esta pregunta mía, verás una magnífica aproximación proporcionada por @robjohn. Adaptada a tu problema, esto dará $$p=e x \exp\Big[W\left(-\frac{\log \left(4 \pi x \epsilon ^2\right)}{2 e x}\right) \Big] -\frac 32$$ donde aparece función Lambert. Seguramente, necesitarás tomar $\lceil p\rceil$.
Aplicado a tu caso, esto daría $p=1.267$ luego $p=2$. Comprobando para $x=\frac \pi {90}$ $$|R_2|=\frac{\pi ^3}{64 \sqrt{2}}\approx \frac{\pi ^3}{4374000 \sqrt{2}}\approx 5.0 \times 10^{-6} < \frac 8 {60000}$$ mientras que $$|R_1|=\frac{\pi ^2}{16200 \sqrt{2}}\approx 4.3 \times 10^{-4} > \frac 8 {60000}$$
Sólo para mostrar la calidad de la aproximación, la solución exacta para tus números sería $p=1.271$.
Haciendo lo mismo para un valor de $\epsilon$ $1000$ veces más pequeño, daría $p=2.282$ luego $p=3$.
