¿Por qué los ángulos son tan extraños?

Question

Estoy potencialmente haciendo una serie de preguntas bastante tontas aquí, pero me pregunto si existe alguna teoría general sobre por qué los ángulos y las cantidades "rotacionales" que tratan de ellos tienen propiedades tan extrañas (para mí - podría ser que simplemente haya pensado demasiado y me haya confundido).

En primer lugar, entiendo que es una convención útil definir la velocidad angular y la aceleración como normales al plano de rotación; pero ¿no sería igual de intuitivo definirlas "en la dirección del cambio"? Es decir, en el espacio 2D, ¿por qué no definiríamos la velocidad angular en la dirección $\hat{\theta}$? Después de todo, siempre apunta en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se define como $\hat{\theta} = -\sin\theta\hat{i} + \cos\theta\hat{j}$, por lo que la velocidad angular positiva estaría en la dirección opuesta a las agujas del reloj y la negativa en sentido de las agujas del reloj, por lo que tendría sentido. ¿Se define como perpendicular al plano de movimiento porque al diferenciar $\omega\hat{\theta}$ nos daría la aceleración angular en la dirección $-\hat{r}$, o hay otra razón?

También me confunde que los ángulos se consideren una cantidad escalar, pero según este razonamiento, ¿no los consideraríamos también pseudovectores? ¿En el mismo sentido en que la posición es un "desplazamiento desde el origen", algo como $x\hat{i}+y\hat{j}$, por la misma convención no diríamos que un ángulo es un "desplazamiento rotacional desde el origen", $\theta\hat{k}$?

Finalmente (y algo sin relación), a diferencia de cualquier otra cantidad escalar que pueda pensar, los ángulos no tienen sentido alguno cuando se multiplican o dividen entre sí. ¿Hay algún significado en tal expresión?

Answer 1

Tus preocupaciones son válidas, y por esa razón, también hay una forma alternativa de ver velocidades angulares, momentos angulares, etc.: No son vectores, sino bivectores. Un bivector es básicamente un segmento de plano orientado, donde "orientado" puede interpretarse ya sea como especificando un parte superior e inferior del plano, o como especificando una dirección de rotación dentro del plano. El bivector que describe la velocidad angular de un disco rotante, por ejemplo, es un segmento de plano paralelo al disco, con un área proporcional al valor absoluto de la velocidad angular, y con su dirección correspondiente a la dirección de rotación del disco.

La razón por la cual esto no se enseña ampliamente es que requiere bastante matemáticas pesadas en forma del producto exterior: los bivectores se pueden obtener tomando el producto exterior $v\wedge w$ de dos vectores $v$ y $w$. Pero resulta que el producto exterior de dos vectores 3D se comporta de una manera muy similar al producto cruz $v\times w$ de los dos vectores. De hecho, es tan similar que si reemplazamos cada bivector con un vector de tal manera que los productos exteriores sean reemplazados por productos cruz, esencialmente nada cambia en el lado del álgebra, por lo que podemos seguir trabajando en el marco familiar de vectores en lugar de bivectores sin perder utilidad alguna. Así que en lugar de introducir bivectores, las velocidades angulares y objetos similares a menudo se describen utilizando productos cruz. Y resulta que estos son perpendiculares al plano de rotación.

Answer 2

Comparar productos cruzados en el espacio 3D y en el espacio 2D está lleno de peligros, al nivel de tu pregunta. Así que, quedémonos en 3D.

(1) Sería un lío, y ya ha sido respondido.

(2) Ten en cuenta que:

$$ \vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos{\theta_{ab}} $$

El Lado Izquierdo es un escalar manifiesto, al igual que las magnitudes de los vectores en el Lado Derecho. Por lo tanto: $\cos{\theta_{ab}} $ es un escalar, lo que debería convencerte de que el ángulo también es escalar.

Con respecto a cualquier naturaleza "pseudo", la fórmula anterior se transforma bajo paridad como:

$$ (-\vec a) \cdot (-\vec b) = |-\vec a||-\vec b|\cos{\theta_{ab}} $$

así que el término coseno no cambia de signo, pero el coseno es par, por lo que el ángulo puede hacerlo.

Intenta con la magnitud del producto cruz:

$$ |\vec a \times \vec b| = |\vec a||\vec b|\sin{\theta_{ab}} $$

que se transforma como:

$$ |(-\vec a) \times (-\vec b)| = |-\vec a||-\vec b|\sin{\theta_{ab}} $$

así que:

$$ P::\sin\theta_{ab} \rightarrow \sin\theta_{ab} $$

implica que el signo del ángulo no cambia. Es un escalar

(3) Multiplicar ángulos tiene total sentido. Considera dos diferenciales de ángulos ortogonales en una esfera unitaria, $d\theta$ y $d\phi$ (polar y azimut, respectivamente).

Ahora integra su producto (con Jacobiano):

$$\int_{\theta=0}^\pi \int_0^{2\pi} \sin\theta (d\theta \, d\phi) =$$ $$ \int_{\theta=0}^\pi (2\pi \sin\theta \, d\theta)$$ $$ = 4\pi $$

Lo cual es el ángulo sólido subtiende por una esfera.

El estereorradian es la unidad SI de ángulo sólido.

Answer 3

1. Queremos que el vector de velocidad angular sea constante a medida que una partícula recorre su camino alrededor de un círculo, ya que una partícula que experimenta un movimiento circular uniforme debería tener una velocidad angular uniforme. En otras palabras, la dirección de $\mathbf{\omega}$ no debería ser una función de $\theta$ en absoluto, mientras que lo es en tu definición.

2. Ciertamente puedes hacer esta definición, pero no es la forma en que uno usualmente piensa sobre los ángulos geométricamente. Por ejemplo, tu pseudovector no sería invariante bajo rotación ya que al rotar $2\pi$ recogerás un factor adicional de $2\pi \hat{k}.$ Además, parece más confuso hacer trigonometría con pseudovectores que con escalares.

3. ¿Por qué no tendría sentido un producto o cociente de ángulos? Por ejemplo, $\frac{\theta}{2\pi}$ representa la fracción de un círculo abarcado por un arco subtendido por un ángulo $\theta$, y potencias más altas de ángulos están en todas partes en la física, como en la expresión exacta para el período de un péndulo simple.

Answer 4

Creo que también podría ayudar si cambias tu punto de vista de ángulos a rotaciones. Los ángulos son una forma de parametrizar las rotaciones.

(1) Una rotación ocurre en algún plano, y resulta que en el espacio 3D hay un pseudo vector ortogonal a cada plano (en 4D, por ejemplo, habría un pseudo-plano ortogonal a cada plano). Por eso podemos usar un pseudo vector de velocidad rotacional para caracterizar una rotación en el espacio 3D. (ver "Tensor dual" si quieres aprender más sobre esto)

(2) Incluso en 3D, los ángulos de rotación no pueden considerarse vectores o pseudo-vectores porque no se suman entre sí como lo hacen los vectores. Solo si consideras rotaciones en el mismo plano obtienes $ \theta_{1+2}\hat{k} = \theta_1\hat{k} + \theta_2\hat{k}$. En el caso general, si consideras dos rotaciones consecutivas hechas en planos diferentes, este tipo de expresión no se cumple. Sin embargo, si observas ángulos de rotaciones infinitesimales, estos, hasta el primer orden, se sumarían de una manera "pseudo-vectorial" adecuada, por lo que la velocidad angular, siendo una fracción de cambio infinitesimal en el ángulo durante un tiempo infinitesimal, resulta ser un pseudo vector adecuado.

(3) Las rotaciones pueden ser "multiplicadas", es decir, definir $(R_2R_1)(\vec{x}) \equiv R_2(R_1(\vec{x}))$. La forma en que esto se traduce a la transformación de ángulos de rotaciones individuales es más complicada. También hay que tener en cuenta que en el caso general $R_2R_1 \neq R_1R_2$