Sea $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ un espacio de medida.
Un conjunto $\mathcal{F}$ de funciones numéricas medibles se llama equi-integrable si para cualquier $\varepsilon > 0$ existe una función no negativa e integrable $h$ tal que $$ \sup_{f\in\mathcal{F}}\int 1_{\left\{\lvert f\rvert\geq h\right\}}\lvert f\rvert\, d\mu < \varepsilon. $$
Ahora la tarea es demostrar lo siguiente:
$\mathcal{F}\subset\mathcal{L}_{\mu}^1$ finito $\implies \mathcal{F}$ equi-integrable.
Mi idea para probar eso es:
Sea $\mathcal{F}=\left\{f_1,\ldots,f_n\right\}$ con $f_i\in\mathcal{L}_{\mu}^1$ para $i=1,\ldots,n$. Esto significa que $0\leq\lvert f_i\rvert=m_i<\infty$ c.s. para $i=1,\ldots.n$. Escoge $$ h:=\max_{i\in\left\{1,\ldots,n\right\}}\left\{m_i\right\}. $$ Entonces para cualquier $\varepsilon > 0$ y cualquier $f_i\in\mathcal{F}$ se tiene $$ \int 1_{\left\{\lvert f_i\rvert\geq h\right\}}\lvert f_i\rvert\, d\mu=0<\varepsilon $$ y como esto no dependía de $i$, para cualquier $\varepsilon >0$ $$ \sup_{f\in\mathcal{F}}\int 1_{\left\{\lvert f\rvert\geq h\right\}}\lvert f\rvert\, d\mu=0<\infty. $$
Entonces $\mathcal{F}$ es equi-integrable.