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Mostrar la equi-integrabilidad de un conjunto finito de funciones de $\mathcal{L}_{\mu}^1$

Sea $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ un espacio de medida.

Un conjunto $\mathcal{F}$ de funciones numéricas medibles se llama equi-integrable si para cualquier $\varepsilon > 0$ existe una función no negativa e integrable $h$ tal que $$ \sup_{f\in\mathcal{F}}\int 1_{\left\{\lvert f\rvert\geq h\right\}}\lvert f\rvert\, d\mu < \varepsilon. $$

Ahora la tarea es demostrar lo siguiente:

$\mathcal{F}\subset\mathcal{L}_{\mu}^1$ finito $\implies \mathcal{F}$ equi-integrable.

Mi idea para probar eso es:

Sea $\mathcal{F}=\left\{f_1,\ldots,f_n\right\}$ con $f_i\in\mathcal{L}_{\mu}^1$ para $i=1,\ldots,n$. Esto significa que $0\leq\lvert f_i\rvert=m_i<\infty$ c.s. para $i=1,\ldots.n$. Escoge $$ h:=\max_{i\in\left\{1,\ldots,n\right\}}\left\{m_i\right\}. $$ Entonces para cualquier $\varepsilon > 0$ y cualquier $f_i\in\mathcal{F}$ se tiene $$ \int 1_{\left\{\lvert f_i\rvert\geq h\right\}}\lvert f_i\rvert\, d\mu=0<\varepsilon $$ y como esto no dependía de $i$, para cualquier $\varepsilon >0$ $$ \sup_{f\in\mathcal{F}}\int 1_{\left\{\lvert f\rvert\geq h\right\}}\lvert f\rvert\, d\mu=0<\infty. $$

Entonces $\mathcal{F}$ es equi-integrable.

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Did Puntos 1

Intenta $h=2\sum\limits_{f\in\mathcal F}|f|$. Sea $A=\bigcap\limits_{f\in\mathcal F}\{f=0\}$. Entonces, para todo $f$ en $\mathcal F$, $\{|f|\geqslant h\}=A$ y $\int\limits_A|f|\mathrm d\mu=0.

Además, nota que el argumento basado en el hecho de que para todo $f$ en $\mathcal L^1_\mu$ existiría alguna constante finita $c$ tal que $|f|\leqslant c$ casi seguramente, es incorrecto (prueba con $f(x)=1/\sqrt{x}$ en $\Omega=(0,1)$ con $\mathcal A$ la sigma-álgebra de Borel y $\mu$ la medida de Lebesgue).

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