¿Cómo resolver la diferenciación implícita con radicales?

Question

Aquí está la pregunta:

$$\sqrt{y^2\sin^2x + x^2\cos^2x} = 4xy$$

Sé sobre la regla del producto y demás, pero no estoy seguro de cómo empezar exactamente.

edit: Solo estoy intentando encontrar la primera derivada de esta ecuación.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

$$\sqrt{y^{2}\sin^{2}{x}+x^{2}\cos^{2}{x}}=4xy$$ Si solo tomas el segundo poder y agrupas, obtienes: $$y^{2}\sin^{2}{x}+x^{2}\cos^{2}{x}-16x^{2}y^{2}=0$$ Nota que si $x>0\Leftrightarrow y>0$ y $x\ne0$.

Ahora simplemente puedes tomar la derivada implícita

Si deseas $y$ con respecto a $x$: Deriva la función, donde se considera que $y$ es una función de $x$. $$2x\cos{x}\sin{x}y^{2}+\sin^{2}{x}y^{2}+2x\sin^{2}{x}y\frac{dy}{dx}+2x\cos^{2}{x}-2x^{2}\cos{x}\sin{x}-32xy-32x^{2}y\frac{dy}{dx} $$

Answer 2

Diferenciando la cantidad bajo el signo radical P, obtenemos usando la notación abreviada (s=$\sin x$, c=$\cos x)$, (primes con respecto a x)

$$ 2 y y' s^2+2 y^2sc+2xc^2-2 x^2cs =2Q$$ diciendo, usando la regla del cociente

$$\dfrac{\sqrt P}{x y} = \dfrac{2Q}{2\sqrt P(x y'+y)}$$

Multiplicando cruzadamente,

$$(xy'+y)\;P=Q\; xy. $$

Podemos recolectar los términos de $y'$ en una implicación posterior si es necesario.