$P,Q$ es cualquier par de subconjuntos de $(X,d)$ con $P\subset Q$, entonces ¿cuál es el valor de $\sup\limits_{x\in P} \inf\limits_{y\in Q} d(x,y)$?

Question

Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Entonces la función $d_H:\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)\to\mathcal [0,\infty]$ definida por $$d_H(A,B)= \max \{ \sup\limits_{x\in A} \inf\limits_{y\in B} d(x,y), \ \sup\limits_{y\in B} \inf\limits_{x\in A} d(x,y) \}$$ para todo $A,B\subset X$. Este $d_H$ se llama [distancia de Hausdorff](https://es.wikipedia.org/wiki/ Distancia_de_Hausdorff).

Ahora quiero verificar $d_H (A,B)$ para un caso particular.

Considera el espacio métrico $(\mathbb R^2,d)$ con la métrica euclidiana $d$. Sean $B=\{(x,y):x^2+y^2\leq16 \}$ y $A=\{(x,y):(x+2)^2+y^2\leq1 \}$ dos subconjuntos de $\mathbb R^2$. Aquí $A\subset B$. Luego he verificado que la primera parte de la definición de $d_H$ es $0$ y la segunda parte es $5$. Por lo tanto, $d_H (A,B)$ es igual a $5$, siendo el máximo de $0,5$. ¿Estoy equivocado?

Estoy confundido por esta [figura](https://es.wikipedia.org/wiki/ Distancia_de_Hausdorff#/media/File:Distancia_de_Hausdorff_ejemplo.svg) en Wikipedia.

Mi pregunta es si $P,Q$ son dos subconjuntos cualquiera de $(X,d)$ con $P\subset Q$, ¿es cierto que $\sup\limits_{x\in P} \inf\limits_{y\in Q} d(x,y)=0$?

Answer 1

Primera pregunta: Creo que tu respuesta es correcta. $d_H(A,B)=5$.

Segunda pregunta. SÍ, otra vez. Si $x \in P$ entonces $x \in Q$ por lo que $\inf_{y \in Q} d(x,y)\leq d(x,x)=0$. Tomar el supremo sobre $x$.