I can try my best to help translate the given text from English to Spanish while keeping the HTML tags intact. Original Text: Well-/Ill-posedness of finding the value of integral of a function in $C^

Question

De un antiguo conjunto de problemas del examen :

Dado $f \in C^{\infty}_{0}(\mathbb{R})$, encuentra $r \in \mathbb{R}$ tal que $r = \int_{\mathbb{R}} f(x) dx$.

La tarea es verificar si el problema anterior es :

a) Bien planteado/mal planteado si se usa $\|\cdot\|_{L^{1}(\mathbb{R})}$ en $C^{\infty}_{0}(\mathbb{R})$, y
b) Bien planteado/mal planteado si se usa $\|\cdot\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}$ en $C^{\infty}_{0}(\mathbb{R})$.

\=> Mi intuición : Tengo la sensación de que está bien planteado cuando se usa $\|\cdot\|_{L^{1}(\mathbb{R})}$ y mal planteado cuando se usa $\|\cdot\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}$. Creo que de alguna manera la dependencia continua será el factor decisivo. Pero no tengo ni idea de cómo hacer rigurosa mi intuición (si es que la intuición es verdadera en absoluto). Por lo tanto, cualquier prueba/contraejemplo será muy apreciado.

Gracias de antemano.

Answer 1

Por dependencia continua, asumo que estás preguntando cuándo el mapa: $$ T : C^{\infty}_0(\Bbb R) \rightarrow \Bbb R $$ definido por el envío $$ f \mapsto\int_{\Bbb R} f(x) \,\mathrm{d}x $$ es continuo con respecto a la norma dada. Aquí estoy asumiendo que $C^{\infty}_0(\Bbb R) = C^{\infty}_c(\Bbb R) = $ funciones suaves de soporte compacto para asegurar que lo anterior esté bien definido.

Dado que el mapeo anterior es lineal, está acotado como un mapa $(C^{\infty}_c(\Bbb R),\lVert \cdot \rVert_{L^p(\Bbb R)}) \rightarrow \Bbb R$ si y solo si existe una constante $C>0$ tal que $$ |Tf| = \left| \int_{\Bbb R} f(x) \,\mathrm{d}x \right| \leq C \lVert f \rVert_{L^p(\Bbb R)} $$ para todo $f \in C_0^{\infty}(\Bbb R).$

Entonces, para ambos casos cuando $p=1$ y $p=\infty,$ debes mostrar que tal $C$ existe independientemente de $f$ (la dependencia es continua), o mostrar una secuencia de $f_k \in C^{\infty}_c(\Bbb R)$ que demuestre que no existe tal $C>0$ (el problema está mal planteado). ¿Puedes continuar a partir de aquí?