¿Puede un grupo localmente compacto con un conjunto cerrado ser contable pero no discreto?

Question

Problema: Demuestra que si un grupo localmente compacto $(G, *)$ contiene un singleton cerrado entonces debe ser discreto o incontable

Prueba dada: Suponiendo que $G$ es contable podemos escribir $G = \displaystyle \bigcup_{g \in G} {g}$. Si cada $\{ g\}$ tiene interior vacío, entonces $G$ se expresa como una unión contable de conjuntos en ninguna parte densos, lo cual no está permitido. Por lo tanto, debe haber algún $\{ g_0\}$ con interior no vacío, lo que implica que $\{ g_0\}$ es abierto y por lo tanto cada $\{ g\} = g g_0 ^{-1}\{ g_0\}$ es abierto y $G$ es discreto.

Mi problema con esta prueba es que no veo por qué $G$ no puede ser expresado de esta manera, como una unión contable de conjuntos en ninguna parte densos. Sé que si $G$ es hausdorff podemos invocar una versión del Teorema de Categoría de Baire para obtener el resultado. Pero, ¿podemos de alguna manera demostrar que $G$ debe ser hausdorff con la información dada, o hay una versión del teorema con requisitos más débiles? Idealmente, alguien podría darme un ejemplo de un grupo localmente compacto no hausdorff, contable y no discreto.

Answer 1

Para empezar con tu última pregunta: un ejemplo típico de un grupo no discreto contable y localmente compacto no Hausdorff serían los enteros con la topología indiscreta.

Ningún ejemplo es probablemente más interesante que ese, ya que todo espacio topológico T₀ es un espacio de Tychonoff.

Eso también explica la prueba: un grupo topológico con un singleton cerrado es T₁ por homogeneidad y por lo tanto también es T₂.

---

Adendum: Que T₀ implica T₂ se puede demostrar de la siguiente manera. Tomemos $g \ne e$, tal que $U$ es un vecindario de $e$ que no incluye a $g$. Hay un vecindario $V \ni e$ tal que $VV \subset U$. Entonces $V$ y $gV^{-1}$ son vecindarios disjuntos de $e$ y $g$, y $g^{-1}V$ y $V^{-1}$ son vecindarios disjuntos de $g^{-1}$ y $e respectivamente.