¿Encontrar la derivada de una integral?

Question

¿Cómo puedo calcular la derivada de la siguiente función?

$$I_n(x)=\int_{a}^{x} (x-t)^{n}f(t)dt$$

Nota: Se me da que $f$ es continua

Answer 1

$$I_n(x)=\int_{a}^{x} (x-t)^{n}f(t){\rm d}t \\ \text{La regla de Leibniz es-} \\ \dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t) {\rm d}t\right) = f(x,b(x))\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}b(x) - f(x,a(x)\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) {\rm d}t \\ \dfrac{\rm d}{{\rm d}x}I_n(x) = (x-x)^nf(x)\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}x - (x-a)^nf(a)\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}a + \int_a^xn(x-t)^{n-1}f(t){\rm d}t \\ = nI_{n-1}(x)$$

Answer 2

La regla de Leibniz dice lo siguiente:

$$\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\left(\int_{a(x)}^{b(x)}f(x, t){\rm d}t\right) = f(x, b(x))b'(x) - f(x, a(x))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}f(x, t)\right){\rm d}t.$$

---

1. ¿Puedes ver cuáles serán $a(x)$, $b(x)$ y $f(x, t)$ en este caso?
2. ¿Con cuál de los tres términos a la derecha tienes problemas al calcular?