Dados dos operadores diferenciales, digamos $D_1$ y $D_2$, ¿existe alguna forma significativa de definir la distancia entre ellos, existe alguna métrica $d(D_1, D_2)$ que cumpla todas las propiedades necesarias? Si no hay una forma simple o natural de definir la distancia, ¿qué restricciones serían necesarias para pensar en la distancia entre operadores diferenciales? Sé que en general el operador es no acotado, y (corríjame si me equivoco) eso significa que no se puede definir una topología inducida por la norma.
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¿Dónde actúan exactamente tus operadores? Supongamos $D_1, D_2: \Gamma(E) \to \Gamma(F)$, donde $E, F \to X$ son fibrados vectoriales suaves sobre la variedad riemanniana compacta $X$ y digamos que ambos son de orden $\leq k$ para algún $k \in \mathbb{N}$. Al pasar al espacio $L^2$, obtenemos dos operadores no acotados $D_1, D_2: L^2(E) \to L^2(F)$. Es cierto que no tiene sentido definir la distancia entre dos operadores no acotados en la topología de la norma. Sin embargo, estos operadores están definidos densamente en el espacio de Sobolev $L^2_k(E)$ de orden $k$ y, como tales, definen operadores lineales acotados $D_1, D_2: L^2_k(E) \to L^2(F)$. En consecuencia, puedes calcular la distancia en $\mathcal{L}(L^2_k(E), L^2(F))$, es decir, el espacio de tales operadores acotados. También puedes verlos como operadores $D_1, D_2: L^2(E) \to L^2_{-k}(F)$ (o considerar cualquier otra extensión de Fredholm si lo prefieres) y calcular la distancia allí.
