Técnicas de Optimización Estocástica

Question

Estoy buscando recolectar técnicas de optimización estocástica que digan bajo qué condiciones \begin{align} E[ f(X_2)] \le E[ f(X_1)]. \end{align> para algunas variables aleatorias $X_1$ y $X_2. Aquí hay un ejemplo de un resultado de ese tipo que conozco

Si $X_1$ domina estocásticamente a $X_2$ y $f(x)$ es no decreciente, entonces \begin{align> E[ f(X_2)] \le E[ f(X_1)]. Donde $X_1$ domina estocásticamente a $X_2$ si $F_{X_1}(x) \le F_{X_2}(x)$ para todo $x.

Lo anterior es un ejemplo de dominancia estocástica de primer orden. Hay otras nociones similares llamadas segundo y tercer orden de dominancia estocástica.

Esta herramienta puede ser muy poderosa en algunos escenarios de optimización estocástica. Sin embargo, tiene sus limitaciones. Por eso me gustaría recolectar algunos otros resultados que indiquen bajo qué condiciones la esperanza con respecto a la distribución $X_1$ es mayor (o menor) que la esperanza con respecto a $X_2.

Si alguien conoce algún otro resultado con un sabor similar o alguna buena referencia, por favor avíseme. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ es una función convexa. Deja que $\vec{X}_1$ y $\vec{X}_2$ sean vectores aleatorios con la misma media, de modo que $E[\vec{X}_1]=E[\vec{X}_2]=\vec{m}$ para algún vector $\vec{m}\in \mathbb{R}^n$. Además, supongamos que $\vec{X}_2$ tiene la misma distribución que $\vec{m} + \theta(\vec{X}_1-\vec{m})$ para alguna constante $\theta \in [0,1]$. Por lo tanto, $\vec{X}_2$ tiene una distribución que está escalada para hacerla más concentrada alrededor de la media. Entonces:

$$E[f(\vec{X}_2)] \leq E[f(\vec{X}_1)] $$

Esto puede ser visto como una generalización de la desigualdad de Jensen (el caso $\theta=0$ es exactamente la desigualdad de Jensen y nos da $f(\vec{m}) \leq E[f(\vec{X}_1)]$).

Proof: \begin{align} E[f(\vec{X}_2)] &= E[f(\vec{m} + \theta(\vec{X}_1-\vec{m}))]\\ &=E[f((1-\theta)\vec{m} + \theta \vec{X}_1)] \\ &\leq E[(1-\theta) f(\vec{m}) + \theta f(\vec{X}_1)] \quad \mbox{[since $f$ is convex]}\\ &= (1-\theta)f(E[\vec{X}_1]) + \theta E[f(\vec{X}_1)]\\ &\leq (1-\theta)E[f(\vec{X}_1)] + \theta E[f(\vec{X}_1)] \quad \mbox{[by Jensen's inequality]}\\ &= E[f(\vec{X}_1)] \end{align} $\Box$