Encuentra el residuo cuando $x^{10}+1$ es dividido por $(x^2+1)(x^2+x+1)$

Question

Encuentra el residuo cuando $x^{10}+1$ es dividido por $(x^2+1)(x^2+x+1)$ He llegado hasta que el divisor es de segundo grado. Pero aquí el grado del residuo es $4$ Esto significa que el residuo será de la forma: $ax^3+bx^2+cx+d$ lo cual dificulta la resolución. ¿Es posible resolver $4$ incógnitas con $4$ ecuaciones?

Answer 1

Usando Prueba de $a^n+b^n$ divisible por $a+b$ cuando $n$ es impar,

$$x^{10}+1\equiv0\pmod{x^2+1}$$

Nuevamente $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

$$x^{10}+1= x(x^9-1)+x+1\equiv x+1\pmod{x^2+x+1}$$

Ahora aplicar CRT

Answer 2

$$\dfrac{x^{10}+1}{(x^2-1)(x^2+x+1)}=(x-1)(x^5-x^3+x^2+x-1)+\dfrac{{x^3+x}}{(x^2-1)(x^2+x+1)}$$

Translated to Spanish:

$$\dfrac{x^{10}+1}{(x^2-1)(x^2+x+1)}=(x-1)(x^5-x^3+x^2+x-1)+\dfrac{{x^3+x}}{(x^2-1)(x^2+x+1)}$$

Answer 3

Ten en cuenta que: $$\frac{x^{10}+1}{(x^2+1)(x^2+x+1)}=\frac{(x^2+1)(x^8-x^6+x^4-x^2+1)}{(\color{green}{x^2+1})(x^2+x+1)}$$ Usando la división larga: $$ \require{enclose} \begin{array}{r} \color{blue}{x^6-x^5-x^4+2x^3-2x+1} \\[-3pt] x^2+x+1 \enclose{longdiv}{x^8-x^6+x^4-x^2+1} \\[-3pt] \underline{x^8+x^7+x^6}\phantom{2} \\[-3pt] -x^7-2x^6+x^4-x^2+1 \\[-3pt] \underline{-x^7-x^6-x^5} \\[-3pt] -x^6+x^5+x^4-x^2+1 \\[-3pt] \underline{-x^6-x^5-x^4} \\[-3pt] 2x^5+2x^4-x^2+1 \\[-3pt] \underline{2x^5+2x^4+2x^3} \\[-3pt] -2x^3-x^2+1 \\[-3pt] \underline{-2x^3-2x^2-2x} \\[-3pt] x^2+2x+1 \\[-3pt] \underline{x^2+x+1} \\[-3pt] \color{red}x \\[-3pt] \end{array} $$ Por lo tanto: $$x^{10}+1=(x^2+1)(x^2+x+1)(\color{blue}{x^6-x^5-x^4+2x^3-2x+1})+\color{red}x(\color{green}{x^2+1}).$$