¿Cómo factorizar $zz^*-4z-4z^*+12=0$ (donde $z^*$ es el conjugado complejo de $z$)?

Question

Estoy tratando de factorizar esto: $$zz^*-4z-4z^*+12=0$$ para obtener esto: $$|z-4|^2 - 4 = 0$$ donde $z=x+yi$ es un número complejo y $z^*=x-yi$ es el conjugado del número complejo $z$.

Estoy intentando factorizar esto usando el método del cuadrado completo pero hasta ahora no he tenido suerte.

Podría usar un poco de ayuda.

Answer 1

\begin {align} zz ^ * -4z -4z ^ * +12 & = zz ^ * -4z -4z ^ * +16 -4 \ \ & = z (z ^ * -4) -4 (z ^ * -4) -4 \ \ & = (z-4) (z ^ * -4) -4 \ \ & = (z-4) (z-4) ^ * -4 \ \ & = | z-4 | ^ 2 -4. \ \end {align}

Answer 2

Observa que, dado que $zz^*=x^2+y^2$ y $z+z^*=2x$, también puedes escribir

$zz^*-4z-4z^*+12=x^2+y^2-8x+12=(x-4)^2+y^2-4=|z-4|^2-4=0$

Dado que ambos representan la ecuación de un círculo de centro $(4,0)$ y radio $2$.