Prueba de la desigualdad de Hölder para integrales impropias

Question

Si $f, g \in \mathscr{R} (\alpha)$ entonces la desigualdad de Hölder también es válida para integrales impropias.

No puedo entender cómo obtienen la última igualdad. Sabemos que $\int \limits_{0}^{1}f\,dx$ existe, es decir, existe $\lim \limits_{c\to 0}\int \limits_{c}^{1}f\,dx$. ¿Cómo concluyen que también existe $\int \limits_{0}^{1}|f|^p\,dx$?

¿Alguien puede explicarlo por favor?

Answer 1

Este es un ejercicio del Principio del Análisis Matemático de Rudin (Capítulo 6 Problema 10c).

Se tiene las suposiciones de que $p$ y $q$ son números reales positivos tales que $$\frac1p+\frac1q=1.$$

Además, $f$ y $g$ deben ser funciones complejas en $\mathscr{R}(\alpha)$. Más precisamente, $f$ y $g$ son integrables de Riemann-Stieltjes con respecto a algún $\alpha$ sobre $(c,1]$ para cualquier $c\in(0,1)$.

Para cualquier $c\in(0,1)$, se tiene (este es el Problema 10b del Capítulo 6) $$\left|\int_c^1fg\ d\alpha\right|\leq \left\{\int_c^1|f|^p\ d\alpha\right\}^{1/p} \left\{\int_c^1|g|^q \ d\alpha\right\}^{1/q}.$$ Si $$\lim_{c\to 0+}\left\{\int_c^1|f|^p\ d\alpha\right\}^{1/p}=\infty$$ entonces $$\left|\int_0^1fg\ d\alpha\right|\leq \left\{\int_0^1|f|^p\ d\alpha\right\}^{1/p} \left\{\int_0^1|g|^q \ d\alpha\right\}^{1/q}$$ es automáticamente verdadero. De igual manera para $$\lim_{c\to 0+}\left\{\int_c^1|g|^q\ d\alpha\right\}^{1/q}=\infty.$$ Cuando $$\lim_{c\to 0+}\left\{\int_c^1|f|^p\ d\alpha\right\}^{1/p}<\infty$$ y $$\lim_{c\to 0+}\left\{\int_c^1|g|^q\ d\alpha\right\}^{1/q}<\infty,$$ tienes la última igualdad en OP por definición de las integrales impropias.