Dada la subbase $\mathcal{S}_i$ de $X_i$, ¿cómo podemos construir una subbase de $\prod_i X_i$ (en la topología del producto)?

Question

Sea $(X_i,\tau_i)$ espacios topológicos y la topología producto $(X,\tau)$ que podemos construir, dadas las bases $\mathcal{B}_i$ de $\tau_i$, una base $\mathcal{B}$ de $\tau$ de la siguiente manera: cualquier elemento $B_i\in \mathcal{B}$ es de la forma $$\prod_j B_j,i$$ donde $B_{j,i}\ne X_j$ para finitos $j$, en cuyo caso $B_{j,i}\in \mathcal{B}_i$.

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He estado intentando encontrar un resultado similar para subbase. En particular, si se nos dan las bases $\mathcal{S}_i$ de $\tau_i$, ¿cómo podemos construir una subbase $\mathcal{S}$ de $\tau$?

Answer 1

Consideremos $\pi_j:\Pi_{i\in \Lambda}X_i\to X_j$ definido por $$\pi_j ((x_i)_{i\in \Lambda} =x_j$$

Sea $S_j=\{\pi_j^{-1}(B_j):B_j\in\mathcal{B}_j\}$

Entonces $\mathcal{S}=\bigcup_{i\in \Lambda}\mathcal{S}_j$ es la subbase de la topología del producto. (Verificar)

(La topología del producto es la topología más gruesa para la cual cada mapa de proyección es continuo)