Estructuras emergentes en una trama discreta de números palindrómicos

Question

Números palindrómicos y sistemas numéricos

Si decidimos trazar Números palindrómicos contra las bases numéricas, y avanzamos lo suficiente en la línea numérica, las cosas comienzan a verse interesantes. De hecho, cuanto más nos adentramos en la línea numérica, obtenemos estructuras similares pero con más detalles.

Vamos a contar cada píxel en una imagen como un número individual, y empezamos en la esquina superior izquierda con coordenadas $(0,0)$. La coordenada $x$ aumenta a medida que vamos hacia la derecha, y la coordenada $y$ aumenta a medida que vamos hacia abajo. Dejemos que $x$ represente un número, y que $y$ represente una base numérica. Es decir, dejemos que $(x,y)$ represente el número $x$ escrito en una base numérica $y$.

Coloreamos el punto $(x,y)$ si $x$ es un palíndromo en la base $y$, de la siguiente manera:

[$1$ - $\color{orange}{Amarillo}$] [$2$ - $\color{red}{Rojo}$] [$3$ - $\color{limegreen}{Verde}$] [$4$ - $\color{azul}{Azul}$] [$5$ - $\color{deepskyblue}{Cian}$] [$\ge6$ - $\color{magenta}{Rosa}$]

Aquí están los números del $0$ al $544$, y las bases numéricas hasta el $99$: (clic y amplía)

Lo que concluí aquí es que los palíndromos de $N$ dígitos pueden estar conectados con polinomios de grado $N-1$. Los palíndromos rojos ($2$ dígitos) forman líneas, que son polinomios de grado uno. Siguiéndolos, los palíndromos verdes formarían parábolas; y así sucesivamente.

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Pero las cosas interesantes surgen cuando profundizamos; al aumentar el valor de $x$.
A continuación se muestra un gráfico que comienza en $(46000,0)$, y algunas estructuras que he resaltado a continuación:

[

Estos son solo ejemplos de "curvas" que pueden formarse ya sea por una línea de palíndromos (resaltados en naranja) o por una línea de regiones negras (resaltadas en amarillo).

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La región verde parece ser la fuente de esas curvas y parece poder extenderse tanto hacia arriba como hacia abajo. La región roja forma espacios horizontales negros con parábolas en su interior:

Esto es alrededor de $(8\times10^6, 4000)$ pero aproximadamente alejado. Observa las estructuras tipo triángulo que parecen ramificarse desde arriba.

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Pregunta

Lo que quiero saber es cómo describir matemáticamente este gráfico y las estructuras en él.

¿Hay cosas similares examinadas en otro lugar? Estoy buscando referencias.

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Answer 1

Todos los puntos están formados por los polinomios como dijiste. Cuando los gráficos de estas funciones polinómicas son demasiado dispersos, comienzan a aparecer estructuras secundarias. Puedes generar estas estructuras de la siguiente manera:

Toma uno de los polinomios y reemplaza los coeficientes por funciones de x e y. La función resultante debe intersecar la cuadrícula $\Bbb{N}^2$ lo suficientemente densamente y debe tener pequeñas primeras y segundas derivadas. Si se cumple esto en un intervalo, verás una estructura secundaria en la forma dada.

Si comienzas con funciones lineales de y, obtendrás la mayoría de las estructuras, principalmente las parábolas. También puedes probar otras funciones polinómicas de x e y.

También hay estructuras gruesas que se forman cuando algunas estructuras similares están ubicadas cerca una de la otra. Y también hay brechas gruesas que se forman cuando no hay estructuras en la zona dada.

La pregunta sigue siendo: ¿Qué funciones producen las estructuras notables?

Creo que este problema es similar a la investigación de números primos o la conjetura de Collatz. Parece que hay un orden pero es realmente difícil (si no imposible) predecirlo.