¿Por qué este razonamiento sobre conjuntos ordenados no es correcto: "El elemento a en S no tiene predecesor inmediato. Por lo tanto, a es el primer elemento en S"?

Question

En Teoría y problemas de teoría de conjuntos, Lipschutz considera como ejemplo de un conjunto bien ordenado el conjunto de números naturales {1,2,3,4...} ordenados por la relación R de la siguiente manera:

(1) si a es impar y b es par, entonces aRb

(2) si tanto a como b son impares, entonces aRb si a < b

(3) si tanto a como b son pares, entonces aRb si a < b.

Lipschutz observa este conjunto de una manera inusual:

{1,3,5,7.....; 2,4,6,8...}.

El número 2 se presenta como un ejemplo de elemento "límite".

¿Cómo explicar que 2 no tiene un predecesor inmediato? ¿Cómo puede ser el caso de que, aunque un elemento tenga al menos un predecesor, ninguno sea inmediato?

¿Es posible dar otro ejemplo de un conjunto que tenga un elemento límite (es decir, un elemento sin predecesor inmediato, sin embargo, sin ser el primer elemento)?

Answer 1

Mientras que $2$ ciertamente tiene muchos predecesores, la cuestión es que ninguno de ellos es un predecesor inmediato.

La prueba procede por contradicción: Suponiendo que $n R 2$ es el predecesor inmediato de $2$. Entonces $n R (n+2)$ y $(n+2) R 2$. Por lo tanto $n$ no es el predecesor inmediato y no existe.

La razón por la cual este tipo de elemento se llama "elemento límite" se explica mejor quizás usando fracciones:

En el conjunto $\{ \frac{-1}{n} \} \cup \{ 0 \} $, es más obvio que $0$ es el "elemento límite". Vemos que $\frac{-1}{n}$ se acerca cada vez más al límite, sin llegar nunca.

Es en este sentido que entran en juego los "elementos límite". Lleva un poco de tiempo acostumbrarse a ellos (hay ejemplos más complejos, como el primer ordinal incontable $\omega_1$) ¡pero trabajando a través de algunos ejemplos más seguramente llegarás allí!