Fórmula del tipo de Stokes

Question

Sea $X$ una variedad compleja. ¿Es cierta la siguiente identidad?

$$\int_X\overline {\partial} \alpha=\int_{\partial X} \alpha$$ donde $\alpha $ es una forma diferencial en $X$, y $\partial X $ es el borde de $X$.

¿La misma pregunta si reemplazamos $\overline {\partial} \alpha $ por $\partial \alpha $?

Answer 1

Sea $X$ el disco unitario en el plano complejo, $\alpha=-z\,d\bar{z}$, entonces $\bar\partial\alpha=0$, pero $\int_{\partial X}\alpha=2\pi i$. Conjugue este ejemplo para obtener un ejemplo para $\partial$.