Polinomios de Hermite y el oscilador armónico cuántico

Question

Yo sé que la ecuación diferencial de Hermite es:

$$y'' - 2xy' + 2ny = 0$$

y las soluciones de esta ecuación diferencial son $H_n(x)$.

Sin embargo, el oscilador armónico cuántico es de la forma:

$$-a y'' +(x^2-\lambda)y = 0$$

No logro ver por qué las soluciones de esta ecuación diferencial involucran polinomios de Hermite. ¿Hay alguna manera de convertir la segunda EDO en la primera EDO?

Answer 1

Un grave error estilístico en tus dos EDO equivalentes es usar la misma variable dependiente para ambas, cuando claramente no son lo mismo. Además, después de haber adimensionalizado, como probablemente se describe en tu texto, a = 1. Entonces, dado que
$$- y'' +(x^2-\lambda)y = 0$$ tiene propiedades de escala desordenadas, mejoras, como siempre, su homogeneidad al redefinir $$ y\equiv e^{-x^2/2} u(x) $$ para que $$ y'= e^{-x^2/2} (u' -xu), \implies \\ y''= e^{-x^2/2} (u'' -2xu'+ x^2 u -u), $$ entonces tu EDO original se reduce a simplemente $$u'' 2x u' + (\lambda -1)u = 0,$$ que aparentemente sabes que tiene los polinomios de Hermite como soluciones para $\lambda -1=2n$, como probablemente te recuerde tu texto...

En resumen, las autofunciones para el oscilador no son polinomios de Hermite, sino más bien aquellas envueltas en gaussiano, es decir, funciones de Hermite, funciones propias de la transformada de Fourier.